derivadas ponto min e max
27 jan 2016, 00:35
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determine os pontos minimo local e de máximo local
Re: derivadas ponto min e max
27 jan 2016, 10:41
Começo por notar que o domínio da função, \(]-\infty, -1[ \cup ]1, +\infty[\), é um conjunto aberto, e que a função é diferenciável no seu domínio. Neste cenário, os extremantes locais apenas podem corresponder a pontos críticos (noutros casos também poderiam ocorrer na fronteira do dominio ou em pontos de não diferenciabilidade).
\(f'(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{2 \dfrac{2x}{x^2-1} \ln(x^2-1) \cdot (x^2-1)- 2x [\ln(x^2-1)]^2}{(x^2-1)^2}=0\Leftrightarrow 2x \ln(x^2-1) [2-\ln(x^2-1)] = 0 \Leftrightarrow
x = {0} \vee x^2-1 = {1} \vee \ln(x^2-1)=2 \Leftrightarrow
x= {0} \vee x= \pm \sqrt{2} \vee x = \pm \sqrt{e^{2}+1}\)
Excluindo o ponto x=0, que está fora do domínio, ficamos com os pontos críticos:
\(x=\pm \sqrt{2} \vee x = \pm \sqrt{e^{2}+1}.\)
Uma vez que a função é par, apenas temos que estudar os pontos críticos positivos, já que os simétricos terão a mesma natureza. Como \(f''(\sqrt{2})=16>0\), os pontos \(x=\pm \sqrt{2}\) são minimizantes locais. Uma vez que \(f''(\sqrt{e^2+1}) = -\frac{8 \left(1+e^2\right)}{e^6} < 0\), os pontos \(x= \pm \sqrt{e^2+1}\) são maximizantes locais.
\(f'(x)=0 \Leftrightarrow \dfrac{2 \dfrac{2x}{x^2-1} \ln(x^2-1) \cdot (x^2-1)- 2x [\ln(x^2-1)]^2}{(x^2-1)^2}=0\Leftrightarrow 2x \ln(x^2-1) [2-\ln(x^2-1)] = 0 \Leftrightarrow
x = {0} \vee x^2-1 = {1} \vee \ln(x^2-1)=2 \Leftrightarrow
x= {0} \vee x= \pm \sqrt{2} \vee x = \pm \sqrt{e^{2}+1}\)
Excluindo o ponto x=0, que está fora do domínio, ficamos com os pontos críticos:
\(x=\pm \sqrt{2} \vee x = \pm \sqrt{e^{2}+1}.\)
Uma vez que a função é par, apenas temos que estudar os pontos críticos positivos, já que os simétricos terão a mesma natureza. Como \(f''(\sqrt{2})=16>0\), os pontos \(x=\pm \sqrt{2}\) são minimizantes locais. Uma vez que \(f''(\sqrt{e^2+1}) = -\frac{8 \left(1+e^2\right)}{e^6} < 0\), os pontos \(x= \pm \sqrt{e^2+1}\) são maximizantes locais.