Derivada Implícita e Explícita para que se tenha o mesmo valor

[Estudioso]

Boa noite pessoal!

Considere a função \(x^2.\,y^3=1\) em sua forma implícita. Resolva-a em suas duas formas (explicita e implícita) de forma que tenham o mesmo resultado.

Obrigado

[Sobolev]

Neste caso, apesar de a função y=y(x) ser dada na forma implícita, é fácil explicitar y em termos de x, concretamente, \(y(x)=x^{-2/3}\). Assim, na forma explicita, temos que \(y'(x)= -\frac 23 x^{-5/3}\). Considerada a forma implícita, quando derivamos a equação inicial, temos que \(2x y^3 + 3x^2 y' y^2 = 0\), pelo que
\(y' = -\frac{2x y^3}{3x^2 y^2} = -\frac 23 \frac yx\)

substituindo na última expressão \(y = x^{-2/3}\) obtem exactamente para y' exactamente a mesma expressão que antes.