Calculando o valor de X e K

[Bencz]

Bom dia.
Estou resolvendo alguns exercícios de derivadas, e tem 2 exercícios que não tenho a menor ideia de como resolver, os exercícios são:

Exercicio 1:

Seja \(f\) definida e derivavel em \(R\) tal que, para todo \(x\), \(f'(x) = \alpha f(x)\).
Prove que existe uma constante \(k\) tal que, para todo \(x\), tem-se \(f(x) = k{e}^{\alpha x}\)
Dica: Mostre que \(\frac{f(x)}{{e}^{\alpha x}}\) é constante para todo \(x \in R\)

Exercicio 2:

Sejam \(f\) e \(g\) duas funções definidas e deriváveis em \(R\). Suponha que \(f(0) = 0\) e \(g(0) = 1\) e que para todo \(x\) \(f'(x) = g(x)\) e \(g'(x) = -f(x)\).

a) Mostre que para todos \(x\), \({(f(x) - sen(x))}^{2} + {(g(x) - cos(x))}^{2} = 0\)
b) Conclua pelo item anterior que \(f(x) = sen(x)\) e \(g(x) = cos(x)\).

Agradeço a ajuda.

[Sobolev]

Vejamos o primeiro... Basta seguir a dica.

\(\left(\frac{f(x)}{e^{\alpha x}}\right)' = \frac{f'(x) e^{\alpha x}- \alpha e^{\alpha x} f(x)}{(e^{\alpha x})^2} = \frac{\alpha f(x) e^{\alpha x} - \alpha e^{\alpha x} f(x)}{(e^{\alpha x})^2} = 0\)

Ora, se uma função derivável tem derivada nula num conjunto conexo (como é o caso de R), a função é constante nesse intervalo. Assim, existe uma constante k tal que

\(\frac{f(x)}{e^{\alpha x}} = k \Leftrightarrow f(x)= k e^{\alpha x}\)

[Sobolev]

e o segundo... Basta derivar e colocar tudo em termos de g (ou f).

\(\left( (f(x)-\sin x)^2 + (g(x)-\cos x)^2 \right)' = 2 (f'(x)-\cos x)(f(x)-\sin x) + 2(g'(x)+\sin x)(g(x)-\cos x)=
2(g(x)-\cos x)(-g'(x)-\sin x) + 2(g'(x)+\sin x)(g(x)-\cos x) = 2(-g(x)g'(x)+\cos x g'(x)-g(x) \sin x +\cos x \sin x+g'(x)g(x)-\cos x g'(x)+\sin x g(x)- \sin x \cos x) = 0\)

Deste modo vemos que

\((f(x)-\sin x)^2 + (g(x)-\cos x)^2 = K\)

no entanto, como f(0)=0 e g(0)=1, temos que

\((f(0)-\sin 0)^2 + (g(0)- \cos 0)^2=K \Rightarrow K = 0\)

o que conduz ao resultado pretendido.

A alínea b) é consequência directa de a). A soma de dois termos não negativos apenas pode ser nula se ambos os termos forem nulos. Concretamente,

\((f(x)-\sin x)^2 + (g(x)-\cos x)^2 = 0 \Rightarrow (f(x)-\sin x)^2 = 0 \wedge (g(x)-\cos x)^2 = 0 \Rightarrow f(x)=\sin x \wedge g(x)=\cos x\).