Um vitral tem o formato de um retângulo com um semi - circulo em cima... Máximos e Mínimos!

[Universitário]

Como devo proceder para resolução dessa questão??

Anexos

Questão:

[Estanislau]

Suponhamos que 1m^2 do retângulo deixe passar 1 unidade de luz, então 1m^2 do semicírculo deixe passar 2/3 unidades de luz. Seja x o lado horizontal do retângulo e o diâmetro do semicírculo; então, como o perímetro é 6m, o outro lado do retângulo e ... . Assim, a área do retângulo é ... e este deixa passar ... unidades de luz, a área do semicírculo é ... e o mesmo deixe passar ... unidades de luz, então a quantidade total de luz é L = ... . De acordo com a interpretação geométrica, x pertence ao intervalo ... . Ora o objetivo é encontrar o ponto deste intervalo onde L atinge o valor máximo.

Acho o método mais claro estudar a monotonicidade da função.

[jorgeluis]

veja a figura:

para entrada de \(\frac{2}{3}\) de luz o raio do semicirculo corresponde a \(r=\frac{2}{3}.\frac{x}{2}\)
logo,
\(2p=6m
2p=x+2y+\frac{2\pi.\frac{x}{3}}{2}
6=x+2y+\frac{\pi.x}{3}\)
\(2y=6-\frac{x(3+\pi)}{3}
y=3-\frac{x(3+\pi)}{6}\)

para entrada completa de luz o raio do semicirculo deve ser \(r=\frac{x}{2}\)
assim,
\(2p=6m
2p=x+2y+\frac{2\pi.\frac{x}{2}}{2}
6=x+2y+\frac{\pi.x}{2}\)
\(2y=6-\frac{x(2+\pi)}{2}
y=3-\frac{x(2+\pi)}{4}\)

Anexos

vitral.png (2.8 KiB) Visualizado 3549 vezes

[Sobolev]

Assumindo que a largura e altura do rectangulo são designadas por x,y, trata-se de maximizar a função \(f(x,y)=xy +\frac{\pi x^2}{6}\), sabendo que \(x+2y+\pi x=6\). Ora, como \(y = 3-\frac{1+\pi}{2} x\), temos que maximizar a função \(f(x)= x(3-\frac{1+\pi}{2} x)+\frac{\pi x^2}{6}\). facilmentye se verifica que esta função tem um máximo global em \(x= \frac{9}{3+2\pi}\).