Uma pipa a 120 m acima do solo... [resolvida]
12 mai 2016, 02:13
Como resolvo a questão??
- Anexos
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Re: Uma pipa a 120 m acima do solo...
14 mai 2016, 02:23
Boa noite,
Vamos chamar de \(x\) a distância horizontal da pipa. Quando a linha da pipa for 240m, por Pitágoras teremos que \(x^2 = 240^2 - 120^2 = 43200\).
Vamos chamar de \(\theta\) o ângulo que a linha faz com a horizontal. Por relação trigonométrica temos que \(\theta = arctg(\frac{120}{x})\).
A taxa de variação do ângulo em relação ao tempo é o produto da taxa de variação do ângulo em relação à distância horizontal da pipa e a taxa de variação da distância horizontal da pipa em relação ao tempo (a velocidade da pipa):
\(\frac{d}{dt}\left(\theta \right) = \frac{d}{dx}\left(arctg(\frac{120}{x})\right) \cdot \frac{d}{dt}\left(x \right )\)
Desenvolvendo ...
\(\frac{d}{dt}\left(\theta \right) = \frac{120}{x^2+14400} \frac{rad}{m} \cdot 10 \frac{m}{s}\)
Para completar basta substituir, nesta última expressão, o valor de \(x^2\) determinado no início para obter a taxa de variação do ângulo (em rad/s) na situação proposta.
Vamos chamar de \(x\) a distância horizontal da pipa. Quando a linha da pipa for 240m, por Pitágoras teremos que \(x^2 = 240^2 - 120^2 = 43200\).
Vamos chamar de \(\theta\) o ângulo que a linha faz com a horizontal. Por relação trigonométrica temos que \(\theta = arctg(\frac{120}{x})\).
A taxa de variação do ângulo em relação ao tempo é o produto da taxa de variação do ângulo em relação à distância horizontal da pipa e a taxa de variação da distância horizontal da pipa em relação ao tempo (a velocidade da pipa):
\(\frac{d}{dt}\left(\theta \right) = \frac{d}{dx}\left(arctg(\frac{120}{x})\right) \cdot \frac{d}{dt}\left(x \right )\)
Desenvolvendo ...
\(\frac{d}{dt}\left(\theta \right) = \frac{120}{x^2+14400} \frac{rad}{m} \cdot 10 \frac{m}{s}\)
Para completar basta substituir, nesta última expressão, o valor de \(x^2\) determinado no início para obter a taxa de variação do ângulo (em rad/s) na situação proposta.