Encontrar a e b pela derivada

[danjr5]

Gostaria de saber como resolver esse exercício, que meu professor de cálculo colocou na prova. Eu fiz mas está errado.

Encontre \(a\) e \(b\) na função \(f(x) = \sqrt{ax^2 + bx + 4}\), sabendo que\(f'(1) = 0\) e \(f(1) = 1\).

Grato.

Editado pela última vez por danjr5 em 08 dez 2012, 20:30, num total de 1 vez.
Razão: Arrumar LaTeX

[danjr5]

Ramosdanr,
seja bem-vindo!

CONDIÇÃO I: \(f(1) = 1\)

\(f(x) = \sqrt{ax^2 + bx + 4}\)

\(f(1) = \sqrt{a + b + 4}\)

\(1 = \sqrt{a + b + 4}\)

\(1^2 = (\sqrt{a + b + 4})^2\)

\(1 = a + b + 4\)

\(\fbox{a + b = - 3}\)


CONDIÇÃO II: \(f'(1) = 0\)

\(f(x) = \sqrt{ax^2 + bx + 4}\)

\(f'(x) = \left (a + b + 4 \right )^{\frac{1}{2}}\)

\(f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \left (a + b + 4 \right )^{- \frac{1}{2}} \cdot \left ( 2ax + b \right )\)

\(f'(x) = \frac{2ax + b}{2\sqrt{ax^2 + bx + 4}}\)

\(f'(1) = \frac{2a + b}{2\sqrt{a + b + 4}}\)

\(0 = \frac{2a + b}{2\sqrt{a + b + 4}}\)

\(\fbox{2a + b = 0}\)


Por fim, encontre \(a\) e \(b\) resolvendo o sistema abaixo:

\(\begin{cases} a + b = - 3 \\ 2a + b = 0 \end{cases}\)

Comente qualquer dúvida!

Daniel F.

[ramosdanr]

Cara, muuuuuito obrigado!

Desculpa tirar seu tempo pra resolver isso.

Minha resposta deu a = 1 e b = -4. Mas o professor falou que estava errada. Resolvendo seu sistema deu a mesma coisa, então ou eu não estou sabendo resolver o sistema ou ele está errado.


Grato.

[danjr5]

Caro Ramosdanr,
certamente cometeu algum lapso, pois resolvendo o sistema temos \(\fbox{a = 3}\) e \(\fbox{b = - 6}\), veja:

Da segunda equação do sistema...
\(\\ 2a + b = 0 \\\\ b = - 2a\)

Substituindo-a na primeira equação, encontramos \(a\)
\(\\ a + b = - 3 \\\\ a + (- 2a) = - 3 \\\\ a - 2a = - 3 \\\\ - a = - 3 \\\\ \fbox{\fbox{a = 3}}\)


Substituindo...
\(\\ b = - 2a \\\\ b = - 2 \cdot 3 \\\\ \fbox{\fbox{b = - 6}}\)


Seria interessante postar como resolveu esse sistema!

Até breve.

[ramosdanr]

Está correto. Eu resolvi errado. Provavelmente eu resolvi tentando chegar no resultado que havia colocado na prova, e é claro, de tanto insistir eu achei uma maneira incorreta pra chegar nesse resultado.

Reavendo o que aconteceu, eu errei na derivada, fiz assim, já multiplicando o 1/2 antes de inverter.
\(f'(x) = (ax^2 + bx + 4)^-1/2 / 2 . (2ax + b)\)


Aí ficou assim:

\(f'(x) = \frac{2} {ax^2 + bx + 4)^{1/2} } . (2ax + b)\)

\(f'(x) = \frac{2 . (2ax + b)} {ax^2 + bx + 4)^{1/2} }\)

Editado pela última vez por ramosdanr em 09 dez 2012, 19:00, num total de 1 vez.

[danjr5]

... Provavelmente eu resolvi tentando chegar no resultado que havia colocado na prova, e é claro, de tanto insistir eu achei uma maneira incorreta pra chegar nesse resultado.

Tem razão!

Obs. LaTeX:
- quando o expoente apresentar mais de um dígito, coloque-o entre {}:

Código:

[tex]^{- \frac{1}{2}}[/tex]

Até logo.

Daniel F.