Derivada Regra da cadeia

[Pacola]

Derive:
a) y= ln(x+√(x²+1)

b)√(x²+e^√x )

a raiz envolve toda expressão em parenteses

[santhiago]

Note que ,

\(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(ln(x+\sqrt{x^2+1})) = \frac{d ln(u)}{du} \cdot \frac{du}{dx} \hspace{30mm} ; u = x+\sqrt{x^2 + 1}\)


Como ,


\(\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(x+\sqrt{x^2+1}) = \frac{dx}{dx} + \frac{d \sqrt{x^2+1}}{dx} = 1 + \frac{ds^{1/2}}{ds} \cdot \frac{ds}{dx} \hspace{30mm} ; s= \sqrt{x^2+1}\)

e


\(\frac{ds}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2+ 1) = 2x\) .


Resulta ,


\(\frac{du}{dx} = 1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\)

e portanto ,

\(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1} } \cdot \left(1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}\right) = \frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}(x+\sqrt{x^2+1})} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)