Teorema do Valor intermediário e do Valor Médio.

[DanielBrandãoMenezes]

Bom dia! Alguém poderia me ajudar com essa questão?
Mostre que a equação e^x + x + sen x = 0 admite uma única raiz real, já tentei algumas vezes , porém não obtive êxito, talvez tenhamos que criar duas funções e utilizar o Teorema do Valor intermediário e do Valor Médio.

Obrigado

Daniel

[Rui Carpentier]

Pode ser feito do seguinte modo. Considere-se a função f(x)=e^x+x+sen(x). É fácil de ver que a sua derivada f'(x)=e^x+1+cos(x) é positiva para todo x. Logo f é estritamente crescente pelo que terá no máximo um unico zero. A existência desse zero é garantida pelo teorema do valor intermédio uma vez que f é contínua em toda a reta real, \(\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty\) e \(\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).