QUESTÕES DE TAXA DE VARIAÇÃO

[lucasayres441]

Alguem pode me ajudar a resolver essas 2 questões de taxa de variação, mostrando os cálculos?

1) Um balão está a 60m acima do solo e se eleva verticalmente a razão de 5m/s. um automóvel passa por baixo do balão viajando a 12m/s. com que velocidade varia, um segundo depois, a distância entre o balão e o automóvel?

2) Despeja-se água num recipiente de forma cônica a razão de 8cm³/min. O cone tem 20cm de profundidade e 10cm de diâmetro, em sua parte superior. Se existe um furo na base, e o nível de água está subindo a razão de 1 milímetro/min, com que velocidade a água estará escoando quando esta estiver a 16cm do fundo?


ps: eu só sei que a resposta da segunda questão é: (8 – 1,6π) cm 3 /min

[Sobolev]

Deve colocar uma pergunta por tópico... Relativamente à primeira questão, se considerar um referencial com origem no ponto do solo directamente por baixo do balão (e assumir também que i. o solo é plano e ii. o carro viaja em linha recta), eixo y na direção vertical e eixo x na direção do movimento (rectilineo) do carro, as equações do movimento são

\(b(t) = (0\quad,\quad 60+5 t)
c(t) = (12 t \quad,\quad 0)\)

A distância entre os dois é dada então por

\(d(t)=|| b(t)-c(t)|| = \sqrt{(0-12t)^2+(60+5t-0)^2} = \sqrt{169t^2+600 t+3600}\)

pelo que

\(d'(t)=\frac{338 t + 600}{2 \sqrt{169 t^2+600 t+3600}}\)

e a resposta pedida será

\(d'(1) = \frac{338+600}{\sqrt{169+600+3600}}=\frac{938}{\sqrt{4369}}\approx 14.191\)