Aplicação de derivada

[Pacola]

Se r uma reta que passa pelo ponto (1,2) e intercepta os eixos nos pontos A=(a,0) ; B=(0,b) a>0 ; b>0. Determine r de modo que a distancia de A a B seja menos possivel

Editado pela última vez por Pacola em 06 mar 2013, 02:23, num total de 1 vez.

[Fraol]

Boa noite,

Há algo mais no enunciado?

[Sobolev]

Em primeiro lugar, nestas condições, é fácil ver que a > 1 e b > 2. A equação de recta que passa no ponto (1 , 2) e tem declive (0 - 2)/(a - 1) é

\(y - 2 = \frac{-2}{a-1} (x-1)\)

Como b é a ordenada na origem desta recta, podemos concluir que \(b = 2+ 2 /(a-1)\). A distância entre os ponto A e B é dada por

\(d = \sqrt{a^2+b^2} = \sqrt{a^2 + (2+\frac{2}{a-1})^2}\)

Assim, basta determinar o valor de a que minimiza a função d (como a raiz quadrada é uma função crescente podemos alternativamente determinar o mínimo de d^2).

\((a^2 + (2+\frac{2}{a-1})^2)' = 2 a -\frac{2}{(a-1)^2}
(a^2 + (2+\frac{2}{a-1})^2)'' = 2+\frac{4}{(a-1)^3} > 0\)

Tratando-se de uma função estritamente convexa, tem no máximo um ponto de estacionaridade que será o seu minimizante global. Assim, apenas tem que resolver a equação

\(2 a -\frac{2}{(a-1)^2} = 0\)

e terá o valor de 'a' e portanto tambem a equação da recta r.

OBS: Usando o Mathematica pode obter

\(a = \frac{1}{3} \left(2+\sqrt[3]{\frac{25}{2}-\frac{3
\sqrt{69}}{2}}+\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(25+3 \sqrt{69}\right)}\right)\)