Achar a derivada de x^(2/3) pela definição de limite

[Gustavo195]

Ache a derivada de x^2/3 pela definição de limite... já tentei inúmeras vezes e não consigo, sempre dá o mesmo resultado mas não chega em (2/3)x^-1/3.

Editado pela última vez por Gustavo195 em 06 jul 2013, 03:05, num total de 1 vez.

[João P. Ferreira]

\(\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^{2/3}-x^{2/3}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[3]{(x+h)^2}-\sqrt[3]{x^2}}{h}=...\)

deixe-me pensar que não estou a ver...

[Gustavo195]

\(\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^{2/3}-x^{2/3}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[3]{(x+h)^2}-\sqrt[3]{x^2}}{h}=...\)

deixe-me pensar que não estou a ver...

Já tentei assim e não deu certo... me disseram que era para fazer algo com diferença de cubos pra eliminar os radicais... mas não consegui.

[João P. Ferreira]

\(\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^{2/3}-x^{2/3}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[3]{(x+h)^2}-\sqrt[3]{x^2}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(\sqrt[3]{(x+h)^2}-\sqrt[3]{x^2})\left(\left(\sqrt[3]{(x+h)^2}\right)^2+\sqrt[3]{(x+h)^2}\sqrt[3]{x^2}+\left(\sqrt[3]{x^2} \right )^2\right)}{h\left(\left(\sqrt[3]{(x+h)^2}\right)^2+\sqrt[3]{(x+h)^2}\sqrt[3]{x^2}+\left(\sqrt[3]{x^2} \right )^2\right)}=\\ \\ =\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h\left(\left(\sqrt[3]{(x+h)^2}\right)^2+\sqrt[3]{(x+h)^2}\sqrt[3]{x^2}+\left(\sqrt[3]{x^2} \right )^2\right)}=\lim_{h \to 0}\frac{2xh+h^2}{h\left(\left(\sqrt[3]{(x+h)^2}\right)^2+\sqrt[3]{(x+h)^2}\sqrt[3]{x^2}+\left(\sqrt[3]{x^2} \right )^2\right)}=\\ \\ \lim_{h \to 0}\frac{2x+h}{\left(\sqrt[3]{(x+h)^2}\right)^2+\sqrt[3]{(x+h)^2}\sqrt[3]{x^2}+\left(\sqrt[3]{x^2} \right )^2}=...\)

lembre-se que \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\)

acho que é isto se as contas não me falham

[Gustavo195]

\(\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^{2/3}-x^{2/3}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{\sqrt[3]{(x+h)^2}-\sqrt[3]{x^2}}{h}=\lim_{h \to 0}\frac{(\sqrt[3]{(x+h)^2}-\sqrt[3]{x^2})\left(\left(\sqrt[3]{(x+h)^2}\right)^2+\sqrt[3]{(x+h)^2}\sqrt[3]{x^2}+\left(\sqrt[3]{x^2} \right )^2\right)}{h\left(\left(\sqrt[3]{(x+h)^2}\right)^2+\sqrt[3]{(x+h)^2}\sqrt[3]{x^2}+\left(\sqrt[3]{x^2} \right )^2\right)}=\\ \\ =\lim_{h \to 0}\frac{(x+h)^2-x^2}{h\left(\left(\sqrt[3]{(x+h)^2}\right)^2+\sqrt[3]{(x+h)^2}\sqrt[3]{x^2}+\left(\sqrt[3]{x^2} \right )^2\right)}=\lim_{h \to 0}\frac{2xh+h^2}{h\left(\left(\sqrt[3]{(x+h)^2}\right)^2+\sqrt[3]{(x+h)^2}\sqrt[3]{x^2}+\left(\sqrt[3]{x^2} \right )^2\right)}=\\ \\ \lim_{h \to 0}\frac{2x+h}{\left(\sqrt[3]{(x+h)^2}\right)^2+\sqrt[3]{(x+h)^2}\sqrt[3]{x^2}+\left(\sqrt[3]{x^2} \right )^2}=...\)

lembre-se que \(x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)\)

acho que é isto se as contas não me falham

Agora tudo faz sentido... muito obrigado, eu cheguei a fazer algo aproximado a isso mas não pensei desse modo.

[João P. Ferreira]

foi vc que me deu a dica qaundo falou da diferença de cubos

um abraço