Determine as dimensões do cilindro de maior volume
07 jun 2013, 19:53
Determine as dimensões do cilindro de maior volume que pode ser inscrito em uma esfera de raio igual a 6 centímetros.
Re: Determine as dimensões do cilindro de maior volume
07 jun 2013, 22:12
interessante 
estamos perante um exercício de otimização
a eq. da esfera de centro \((0,0,0)\) é
\(x^2+y^2+z^2=6^2\)
considerando apenas a semiesfera superior, a altura \(z\) é dada por
\(z=\sqrt{6^2-x^2-y^2}\)
o raio do cilindro (paralelo ao plano xOy) é dado por \(r^2=x^2+y^2\) ora então fica com uma equação que é:
\(r^2+z^2=6^2\)
\(r^2=6^2-z^2\)
o volume do cilindro inscrito é então em função da altura (z)
\(V(z)=\pi r^2 h =\pi r^2 2.z=2\pi (6^2-z^2).z\)
basta agora achar o máximo derivando e igualando a zero, ou seja resolver \(\frac{dV}{dz}=0\)
estamos perante um exercício de otimização
a eq. da esfera de centro \((0,0,0)\) é
\(x^2+y^2+z^2=6^2\)
considerando apenas a semiesfera superior, a altura \(z\) é dada por
\(z=\sqrt{6^2-x^2-y^2}\)
o raio do cilindro (paralelo ao plano xOy) é dado por \(r^2=x^2+y^2\) ora então fica com uma equação que é:
\(r^2+z^2=6^2\)
\(r^2=6^2-z^2\)
o volume do cilindro inscrito é então em função da altura (z)
\(V(z)=\pi r^2 h =\pi r^2 2.z=2\pi (6^2-z^2).z\)
basta agora achar o máximo derivando e igualando a zero, ou seja resolver \(\frac{dV}{dz}=0\)