Calcular o(s) pontos(s) de máximo local e o(s) ponto(s) de mínimo local

[Sandor Freire]

Boa noite,

Estou tentando resolver a equação: f(x) = x/(2x²+4), x ∊ R.

Eu calculei a derivada e achei esta: (-x+2)/[2(x²+2)²].

Só que daqui em diante eu travei, gostaria de um auxílio se possível.

Obrigado.

Att

[João P. Ferreira]

Olá

A derivada está errada, lembre-se da regra da derivada de frações

\(\left(\frac{f}{g}\right)'=\frac{f'g-g'f}{g^2}\)

logo

\(f'(x)=\left(\frac{x}{2x^2+4}\right)'=\frac{1.(2x^2+4)-4x.x}{(2x^2+4)^2}=\frac{-2x^2+4}{(2(x^2+2))^2}=-\frac{x^2-2}{2(x^2+2)^2}\)

os extremos são quando a derivada \(f'(x)=0\)

então façamos

\(-\frac{x^2-2}{2(x^2+2)^2}=0\)

uma fração é igual a zero quando o numerador (o de cima) é igual a zero e o denominador (o de baixo) é diferente de zero

então é preciso achar quando \(x^2-2=(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})=0\) (caso notável)

o denominador é sempre diferente de zero

logo os extremos são em \(\pm \sqrt{2}\)

[Sandor Freire]

Verdade, eu fiz certo e escrevi errado, Obrigado pela correção e explicação.

Porém para eu achar o máximo e mínimo, preciso fazer a análise dos pontos críticos.

Analisando √2, na derivada:

quando x<√2, temos f'(x) = (-).(-) > 0
quando x>√2, temos f'(x) = (+).(+) > 0

Então a função admite um ponto de máximo para x=√2 . O valor da função neste ponto é

f(√2) = √2/8

Isso está correto? Só teria mesmo o ponto de máximo e não de minimo?

Obrigado pela atenção.

[João P. Ferreira]

quando x<√2, temos f'(x) = (-).(-) > 0
quando x>√2, temos f'(x) = (+).(+) > 0

não,

lembre-se que o denominador de \(f'(x)\) é sempre positivo logo não altera o sinal e no numerador temos \(-(x^2-2)=-(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})\)

então

quando x>√2, temos f'(x) = -((+).(+)) < 0
quando -√2<x<√2, temos f'(x) = -((+).(-)) > 0
quando x<-√2, temos f'(x) = -((-).(-)) < 0

[Sandor Freire]

Prezado colega,

Grato pela atenção.

Neste caso, terei tanto máximo, como mínimo, pois nos casos abaixo:

quando x>√2, temos f'(x) = -((+).(+)) < 0
quando -√2<x<√2, temos f'(x) = -((+).(-)) > 0
quando x<-√2, temos f'(x) = -((-).(-)) < 0

ele passa do positivo para negativo = máximo
e do negativo para o positivo = mínimo.

Esta de acordo agora?

Obrigado.

[João P. Ferreira]

Não é bem assim

Se \(f'(x)<0\) significa que \(f(x)\) é decrescente; e se \(f'(x)>0\) significa que \(f(x)\) é crescente, logo

\(\sqrt{2}\) é máximo e \(-\sqrt{2}\) é mínimo

[Sandor Freire]

Prezado colega,

Muito obrigado novamente pela atenção cedida a minha pergunta.

Estou estudando o assunto e essa me pegou, vou estudar afinco sobre isso, para matar todas as dúvidas.

Obrigado por ir fazendo o passo a passo e ir me fazendo raciocinar (mesmo que a minha resposta não estava correta eu pensei sobre).

Att

Sandor

[João P. Ferreira]

sempre às ordens