Derivada de função de raiz cúbica, com fração como radical

[amadeu]

Olá pessoal !

Segue mais uma questão: __ Qual a derivada da seguinte função ?

\(f(x)=\sqrt[3]{{\frac{3}{x^2}}\)

Segundo julgo saber, a fórmula a aplicar é:\(\,\,\,y^,=m\cdot u^{m-1}\cdot u^,\)

ou, esta outra:\(\,\,\,y^,=\frac{1}{k\sqrt[k]{u^{k-1}}}\cdot u^,\)

Como no radicando temos um quociente, e é necessário aplicar a derivada deste na fórmula,\((u^,)\) temos que a encontrar. Para tal usamos a fórmula da derivada para este fim:

\(y^,=\frac{v.u^,-u.v^,}{v^2}\).


Se: \(\,\,\,y=\frac{3}{x^2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,y^,=-\frac{6}{x^3}\,\,\,\) depois, aplicamo-la no devido lugar em uma das fórmulas dadas acima, e desenvolvemos toda a fórmula até chegar à solução final.

A questão é que o manual de onde tirei o problema apresenta como solução:

\(f^,(x) =-\frac{2\sqrt[5]3}{5}.x^{-\frac{7}{5}\)

Eu, depois de dar voltas à tóla, a tentar desenvolver o problema não consegui chegar aquele resultado.
Será que o mesmo está errado ? Ou me faltam conhecimentos de alguns artifícios matemáticos para chegar até ele ?

Gostaria que alguém resolvesse o problema até á simplificação máxima, para verificação.

Grato:
amadeu

[Mauro]

Olá pessoal !

Segue mais uma questão: __ Qual a derivada da seguinte função ?

\(f(x)=\sqrt[3]{{\frac{3}{x^2}}\)

Segundo julgo saber, a fórmula a aplicar é:\(\,\,\,y^,=m\cdot u^{m-1}\cdot u^,\)

ou, esta outra:\(\,\,\,y^,=\frac{1}{k\sqrt[k]{u^{k-1}}}\cdot u^,\)

Como no radicando temos um quociente, e é necessário aplicar a derivada deste na fórmula,\((u^,)\) temos que a encontrar. Para tal usamos a fórmula da derivada para este fim:

\(y^,=\frac{v.u^,-u.v^,}{v^2}\).


Se: \(\,\,\,y=\frac{3}{x^2}\,\,\,\Rightarrow\,\,\,y^,=-\frac{6}{x^3}\,\,\,\) depois, aplicamo-la no devido lugar em uma das fórmulas dadas acima, e desenvolvemos toda a fórmula até chegar à solução final.

A questão é que o manual de onde tirei o problema apresenta como solução:

\(f^,(x) =-\frac{2\sqrt[5]3}{5}.x^{-\frac{7}{5}\)

Eu, depois de dar voltas à tóla, a tentar desenvolver o problema não consegui chegar aquele resultado.
Será que o mesmo está errado ? Ou me faltam conhecimentos de alguns artifícios matemáticos para chegar até ele ?

Gostaria que alguém resolvesse o problema até á simplificação máxima, para verificação.

Grato:
amadeu

Caro Amadeu, vou me aventurar, ok? Esperemos outros comentários críticos para enriquecimento de nosso forum.

Eu faria um algebrismo antes:

\(f(x)={\sqrt[3]{{\frac{3}{x^2}}} = \frac{3^{\frac{1}{3}}}{x ^{\frac{2}{3}}}\)

Aplicando a regra do quociente,

\(y^,=\frac{v.u^,-u.v'}{v^2}\)

\(v=x^{\frac{2}{3}}\)

\(u=3^{\frac{1}{3}}\)



\(y'=\frac{x^{\frac{2}{3}}.0-3^{\frac{1}{3}}.{\frac{2}{3}^{-\frac{1}{3}}}}{x^{\frac{4}{3}}}\)

\(y'=-\frac{\frac{3^{\frac{1}{3}}}{{\frac{2}{3}^{\frac{1}{3}}}}}{x^{\frac{4}{3}}}\)


Se estou certo, não ajudei muito e acho que estou muito longe da resposta do manual; se estou errado, perdão pela perda de tempo de todos.

Abração
Mauro

[Eli]

Não há necessidade da utilização da regra do quociente, uma vez que o numerador da fração é uma constante.

1. Escrevendo como potências.

\(f(x) = \sqrt[3]{\frac{3}{x^2}} \Leftrightarrow f(x) = \frac{3^{1/3}}{x^{2/3}} \Leftrightarrow f(x) = 3^{1/3} . x^{-2/3}\)

2. Derivando.

\(\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} (3^{1/3} . {x^{-2/3}}) = 3^{1/3}.\frac{d}{dx} (x^{-2/3}) = 3^{1/3}. (\frac{-2}{3}) . x^{(-2/3)-1} = -\frac{2}{3}.3^{1/3} . x^{-5/3} \Leftrightarrow \frac{d}{dx} f(x) = -\frac{2.\sqrt[3]{3}}{3. \sqrt[3]{x^5}\)

3. Simplicando o resultado.

\(\frac{d}{dx} f(x) = -\frac{2.\sqrt[3]{3}}{3. \sqrt[3]{x^5}} = -\frac{2.\sqrt[3]{3}.\sqrt[3]{x}}{3. \sqrt[3]{x^5}.\sqrt[3]{x}} = -\frac{2.\sqrt[3]{3.x}}{3.x^2}\)

4. O resultado.

\(\frac{d}{dx} f(x) = -\frac{2.\sqrt[3]{3.x}}{3.x^2}\)

Estou fortemente convencido de que seu manual não é confiável.

[amadeu]

Oi, Eli.

É. De facto o enunciado deve estar errado. Só pode.
Resolvendo como\(\sqrt[5]{\frac{3}{x^2}}\), aí, já bate certo com a solução.

Obrigado pelo empenho dispendido.

Abraço!