Como será que Fermat chegou a 4x - 3x^2 = 0? (Máximos e mínimos)
30 jul 2013, 12:27
Prezados,
estive vendo um documentário sobre a História da Matemática, mais especificamente sobre cálculo.
Dizia que, como todos sabem, esta ferramenta teve vários pais (Descartes, Fermat, Leibniz e Newton), embora nenhum deles tenha visto como a é hoje em dia.
Lá pelas tantas, a entrevistada mostrou como Fermat esteve perto de formalizar o que o futuro consolidou.
Começou desenhando a curva dada pela equação
\(y = 2x^2 - x^3\)
A partir da visulização do gráfico, Fermat teve a ideia de acrescentar um pequeno valor, que chamou de 'A' à equação igualá-la à original pois, em sua mentalização, 'A' teria um valor muito pequeno, ou seja
\(2(x+A)^2 - (x+A)^3 = 2x^2 - x^3\)
\(4xA+2A^2-3x^2A-3xA^2-A^3=0\)
Até aqui, tudo bem.
Diz a entrevistada que Fermat, a 'partir de manipulações', em certo ponto passou a ignorar o 'A' e chegou a
\(4x-3x^2 = 0\)
e, finalmente, a
\(x=\frac{4}{3}\)
Fazer 'A' tender a zero pode ser a solução. Mas como ficaria uma coisa assim?
Fiquei curioso: que manipulação seria esta?
Abração,
Mauro
estive vendo um documentário sobre a História da Matemática, mais especificamente sobre cálculo.
Dizia que, como todos sabem, esta ferramenta teve vários pais (Descartes, Fermat, Leibniz e Newton), embora nenhum deles tenha visto como a é hoje em dia.
Lá pelas tantas, a entrevistada mostrou como Fermat esteve perto de formalizar o que o futuro consolidou.
Começou desenhando a curva dada pela equação
\(y = 2x^2 - x^3\)
A partir da visulização do gráfico, Fermat teve a ideia de acrescentar um pequeno valor, que chamou de 'A' à equação igualá-la à original pois, em sua mentalização, 'A' teria um valor muito pequeno, ou seja
\(2(x+A)^2 - (x+A)^3 = 2x^2 - x^3\)
\(4xA+2A^2-3x^2A-3xA^2-A^3=0\)
Até aqui, tudo bem.
Diz a entrevistada que Fermat, a 'partir de manipulações', em certo ponto passou a ignorar o 'A' e chegou a
\(4x-3x^2 = 0\)
e, finalmente, a
\(x=\frac{4}{3}\)
Fazer 'A' tender a zero pode ser a solução. Mas como ficaria uma coisa assim?
Fiquei curioso: que manipulação seria esta?
Abração,
Mauro
Re: Como será que Fermat chegou a 4x - 3x^2 = 0? (Máximos e mínimos) [resolvida]
30 jul 2013, 16:54
Camarada
Estive a ver o documentário
ora então
\(2(x+A)^2 - (x+A)^3 = 2x^2 - x^3\)
\((x+A)^2 (2- (x+A)) = 2x^2 - x^3\)
\((x^2+2xA+A^2) (2- x-A) = 2x^2 - x^3\)
\(2x^2+4xA+2A^2 - x^3 -2x^2A-xA^2 -Ax^2-2xA^2-A^3 = 2x^2 - x^3\)
\(2x^2+4xA+2A^2 - x^3 -2x^2A-xA^2 -Ax^2-2xA^2-A^3 = 2x^2 - x^3\)
\(2x^2-x^3 + 4xA+2A^2 -2x^2A-xA^2 -Ax^2-2xA^2-A^3 = 2x^2 - x^3\)
e tal como o caro demonstra:
\(4xA+2A^2 -3x^2A-3xA^2 -A^3=0\)
dividindo tudo por \(A\)
\(4x+2A -3x^2-3xA -A^2=0\)
como \(A\to 0\)
\(4x-3x^2=0\)
e Fermat com esta forma simples e mecânica descobre o máximo de uma função
Tal é o predecessor do cálculo diferencial pois esse \(A\) é o que denominamos por \(dx\)
saudações e um abraço
Estive a ver o documentário
ora então
\(2(x+A)^2 - (x+A)^3 = 2x^2 - x^3\)
\((x+A)^2 (2- (x+A)) = 2x^2 - x^3\)
\((x^2+2xA+A^2) (2- x-A) = 2x^2 - x^3\)
\(2x^2+4xA+2A^2 - x^3 -2x^2A-xA^2 -Ax^2-2xA^2-A^3 = 2x^2 - x^3\)
\(2x^2+4xA+2A^2 - x^3 -2x^2A-xA^2 -Ax^2-2xA^2-A^3 = 2x^2 - x^3\)
\(2x^2-x^3 + 4xA+2A^2 -2x^2A-xA^2 -Ax^2-2xA^2-A^3 = 2x^2 - x^3\)
e tal como o caro demonstra:
\(4xA+2A^2 -3x^2A-3xA^2 -A^3=0\)
dividindo tudo por \(A\)
\(4x+2A -3x^2-3xA -A^2=0\)
como \(A\to 0\)
\(4x-3x^2=0\)
e Fermat com esta forma simples e mecânica descobre o máximo de uma função
Tal é o predecessor do cálculo diferencial pois esse \(A\) é o que denominamos por \(dx\)
saudações e um abraço
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-
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Re: Como será que Fermat chegou a 4x - 3x^2 = 0? (Máximos e mínimos)
30 jul 2013, 18:55
João P. Ferreira Escreveu:Camarada
Estive a ver o documentário
ora então
\(2(x+A)^2 - (x+A)^3 = 2x^2 - x^3\)
\((x+A)^2 (2- (x+A)) = 2x^2 - x^3\)
\((x^2+2xA+A^2) (2- x-A) = 2x^2 - x^3\)
\(2x^2+4xA+2A^2 - x^3 -2x^2A-xA^2 -Ax^2-2xA^2-A^3 = 2x^2 - x^3\)
\(2x^2+4xA+2A^2 - x^3 -2x^2A-xA^2 -Ax^2-2xA^2-A^3 = 2x^2 - x^3\)
\(2x^2-x^3 + 4xA+2A^2 -2x^2A-xA^2 -Ax^2-2xA^2-A^3 = 2x^2 - x^3\)
e tal como o caro demonstra:
\(4xA+2A^2 -3x^2A-3xA^2 -A^3=0\)
dividindo tudo por \(A\)
\(4x+2A -3x^2-3xA -A^2=0\)
como \(A\to 0\)
\(4x-3x^2=0\)
e Fermat com esta forma simples e mecânica descobre o máximo de uma função
Tal é o predecessor do cálculo diferencial pois esse \(A\) é o que denominamos por \(dx\)
saudações e um abraço
Me dá até raiva, Mestre João. Coisa mais tola, por que não pensei em dividir tudo por 'A' ?
Há uma diferença em quem sabe matemática e aqueles que tentam aprender alguma coisa e patinam, patinam e patinam no mesmo lugar, como eu.
Abração e obrigado
Mauro
Re: Como será que Fermat chegou a 4x - 3x^2 = 0? (Máximos e mínimos)
30 jul 2013, 22:16
Caro Mauro
Não menospreze por favor o seu conhecimento
O caro, assim como muitos outros nobres contribuidores, têm dado no fórum várias provas de sabedoria e empenho
Um abraço
Não menospreze por favor o seu conhecimento
O caro, assim como muitos outros nobres contribuidores, têm dado no fórum várias provas de sabedoria e empenho
Um abraço