Derivada da função logística (sigmóide)

[Ana.costa]

Olá, tudo bem?
Analisando a função logística y = 1 / (1 + exp(-x)), onde exp(-x) é a constante de Euler elevada a -x, ela tem a derivada = y(1 - y). onde y é a função original.
A minha dúvida é como chegar nesse resultado. Foi usada a regra do quociente para derivar? e depois foi usado alguma simplificação?
grande abraço,
Ana

Anexos

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[João P. Ferreira]

Olá Ana

Bem-vinda

Tem \(y =\frac{1}{1 + e^{-x}}\)

aplicando a regra do quociente - derivada do de cima vezes o de baixo, menos a derivada do debaixo vezes o de cima, sobre o debaixo ao quadrado - ficamos com

\(y' =\frac{1'(1 + e^{-x})-(1 + e^{-x})'1}{(1 + e^{-x})^2}=\frac{0.(1 + e^{-x})-(1' + (e^{-x})')1}{(1 + e^{-x})^2}=\frac{e^{-x}}{(1 + e^{-x})^2}\)

repare ainda que

\(y(1-y)=\frac{1}{1 + e^{-x}}\left(1-\frac{1}{1 + e^{-x}}\right)\)

continue...

lembre-se que \((e^{-x})'=-e^{-x}\)

[Ana.costa]

Obrigado pela resposta João P. Ferreira, me esclareceu o caso da aplicação da regra do quociente. Assim que eu conseguir explicar a equivalencia entre as duas equações, posto aqui.
grande abraço

[João P. Ferreira]

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