Problema de diferencial

[Natalia]

Galera, não consigo resolver este exercício, e infelizmente não tenho a resposta.

Quando o sangue flui ao longo de uma vaso sanguíneo, o fluxo F (o volume de sangue por unidade de tempo que passa por um dado ponto) é proporcional à quarta potencia do raio R do vaso: V = kr^4. (Isso é conhecido como lei de Poiseuille). Uma artéria parcialmente obstruída pode ser alargada por uma operação chamada angioplastia, na qual um cateter-balão é inflado dentro da artéria a fim de aumenta-la e restaurar o fluxo normal de sangue. Mostre que a variação relativa em F é cerca de quatro vezes a variação relativa em R. Como um aumento de 5% no raio afeta o fluxo sangue?

[Fraol]

Boa noite,

Esse aproximadamente no enunciado é um pouco vago, de qualquer forma vamos tentar. A primeira parte creio que seja algo assim, com alguma simplificação na notação:

Como \(F = kR^4\), então derivando temos \(F' = 4kR^3\).

A variação relativa é quociente: \(\frac{F'}{F} = \frac{4kR^3}{kR^4} \Leftrightarrow F = \frac{4F'}{R}\).

A segunda parte, é meramente substituição e algumas contas.

[Fraol]

Boa noite,

Voltei para corrigir e melhorar a notação referente à primeira parte:

Como \(F = kR^4\), então derivando temos \(dF = 4kR^3 dR\).

A variação relativa é quociente: \(\frac{dF}{F} = \frac{4kR^3 dR}{kR^4}\).

\(\Leftrightarrow \frac{dF}{F} = 4 \cdot \frac{dR}{R}\)

Assim fica claro que a variação relativa do Fluxo F é 4 vezes a variação relativa do raio R da artéria.


(editado acima para separar a visualização do resultado final)