Um poster deve ter uma área de 900cm³ com uma margem de 3cm na base, nos lados e uma margem de 5cm³ em cima....

[Leandro_mb]

Olá, alguém pode ajudar com esse problema de otimização ?

Um poster deve ter uma área de 900cm³ com uma margem de 3cm na base, nos lados e uma margem de 5cm³ em cima.
Quais dimensões darão a maior área impressa ?

Sei que a área total =x*y
assim, devemos achar mais uma equação, isolar uma incógnita, substituir na outra equação, derivar, igualar a zero, etc.
Mas não consigo encontrar a segunda equação.

[Sobolev]

Descontando as margens, a área útil será \(A(x,y)=(x-6)(y-8)\). Por outro lado, como a área total é 900, sabemos que \(xy=900\). Assim, a função área em termos de x será

\(A(x)=(x-6)(\frac{900}{x}-8) = -8 x-\frac{5400}{x}+948\)

Como a função é diferenciável no conjunto aberto\(]0,+\infty[\) os eventuais maximizantes ou minimizantes só podem ocorrer em pontos onde a derivada seja nula ( Se a função não fosse diferenciável ou o conjunto não fosse aberto poderiam existir extremantes em pontos onde a derivada não fosse nula). Procuremos então os zeros da derivada para x > 0.

\(A'(x)=0 \Leftrightarrow \frac{5400}{x^2}-8 = 0 \Leftrightarrow x = 15 \sqrt{3}\)

Como \(A''(x) < 0\) o ponto encontrado é um maximizante global. Note que se apenas verificasse que \(A''( 15 \sqrt{3})<0\) apenas garantia que se tratava de um maximizante local.