Derivadas parciais cruzadas

[Ricardo]

Boa noite preciso de ajuda nesta demostração, nao sei se devo resolver as derivadas parciais cruzadas ou se existe uma forma mais simples...

Dado \(f(x,y) = xy(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2})\) se \((x,y)\neq (0,0)\) e \(f(0,0)= 0\), mostre que \(\frac{d^2f}{dxdy}(0,0)\neq \frac{d^2f}{dydx}(0,0)\)

Gostaria que alguém me desse uma ideia de como pegar nisto..

[josesousa]

Como a função é definida por ramos, e (0,0) está na fronteira, vais ter de calcular as derivadas parciais pela definição (limites) e nunca derivando como se faz normalmente.

[Ricardo]

Mesmo assim nao tou a conseguir! Se pudesse explicar uma pouco mais detalhadamente, ficava bastante agradecido!

[josesousa]

Calculas isto
\(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = lim_{h \to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}\)
Depois
\(\frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x}(0,0) = lim_{h \to 0}\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,h)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{h}\)

A outra é similar.

Ficou claro assim?

[josesousa]

Ok, para ficar claro, a outra é

\(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0) = lim_{h \to 0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}\)
Depois
\(\frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y}(0,0) = lim_{h \to 0}\frac{\frac{\partial f}{\partial y}(h,0)-\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)}{h}\)

[Ricardo]

Muito Obrigado pela ajuda!

[josesousa]

De nada, estamos aqui para ajudar também! E se puderes, contribui de vez em quando também para responder!

Saudações Pitagóricas

[Ricardo]

Certo! No que eu conseguir, estarei disposto a ajudar!