Teorema Lagrange (Valor Medio)

[hsmofm]

Bom Dia,

Como posso resolver este exercício:
Prove que Log(1+x) - log(x) < 1/x

Eu sei que se utilizar o teorema do valor medio: (c'= f(b)-f(a))/(b-a) mas para isso preciso racionalizar e não sei como... alguém me pode ajudar?

Obrigado

[santhiago]

Boa tarde . Comece a definir \(f: (0,+\infty) \mapsto \mathbb{R} ; f(x) = log(x)\) .Observe que esta função satisfaz as condições necessárias do Teorema de Lagrange , para cada \(x > 0\) fixado \(f\) é contínua em \([x,x+1]\) e diferenciável em \((x,x+1)\) pelo que existe \(c\) neste intervalo aberto tal que \(f'(c) = (f(x+1) - f(x))/(x+1 -x) = f(x+1) - f(x)\) . Além disso note que se \(x+1 > c > x\) então \(\frac{1}{x+1} < \frac{1}{c} < \frac{1}{x}\) .