Dada a função f(x) = 0,5x3 + x2 - 12x - observação : x3 significa x ao cubo e x2 significa x ao quadrado

[mbraz]

Dada a função f(x) = 0,5x3 + x2 - 12x

1) Determine a derivada primeira e descreva os intervalos de crescimento, decrescimento e ponto crítico (máximo ou mínimo).

2) Determine a derivada segunda e descreva os intervalos que a função apresenta concavidade para baixo e para cima e os pontos de inflexão.

3) Esboce o gráfico da função a partir dos resultados obtidos nos itens 1 e 2 e destaque os pontos importantes (zeros da função, pontos críticos e pontos de inflexão).

[Fraol]

Bom dia,

Conforme as regras do fórum, vou encaminhar a resolução do item 1 da sua questão:

Dada a função f(x) = 0,5x3 + x2 - 12x

1) Determine a derivada primeira e descreva os intervalos de crescimento, decrescimento e ponto crítico (máximo ou mínimo).

Derivar f(x) é derivar um polinômio, aquela regrinha de que o expoente desce multiplicando e é diminuído de 1 ... ), assim:

\(f(x)=\frac{1}{2}x^3 + x^2 - 12x \Rightarrow f'(x) = \frac{3}{2}x^2 + 2x - 12\)

Veja que \(f'(x)\) é uma equação do 2o. grau, que você viu lá no primeiro ano do Ensino Médio. Encontrando as raízes dessa quadrática você terá os \(x\) dos dois pontos críticos de \(f(x)\). Como a derivada, \(f'(x)\) tem concavidade para cima (porquê?) então no intervalo entre suas raízes ela é negativa o que indica que nesse intervalo a função \(f(x)\) é decrescente e por conseguinte, nos intervalos à esquerda da menor raiz e à direita da maior raiz, \(f(x)\) é crescente. Dessa forma no ponto onde \(x\) é a menor raiz da derivada, \(f(x)\) tem ponto de máximo local e no ponto onde \(x\) é a maior raiz da derivada, f(x) tem ponto de mínimo local. Então você precisa encontrar as raízes da derivada para completar esse item.