√(x²+y²) = C.arctan(y/x) | Encontre dy/dx

[FoxHunter]

As variáveis x e y estão relacionadas por esta função:
\(\sqrt{x^2 + y^2} = C.\arctan(y/x)\)

onde C é uma constante.
E assim é para encontrar uma expressão para \(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}\)

Alguém sabe como proceder o exercício?

[josesousa]

Lembrando que \(y=y(x)\) tente derivar ambos os membros da igualdade em ordem a x.
Terá termos em \(y'\). Depois tente isolá-los. Provavelmente fica com algo como
\(\frac{dy}{dx}= f(x,y)\)

[João P. Ferreira]

Como já referiu o caro Prof. José Sousa
pode derivar dos dois lados em ordem a \(x\), considerando \(y=y(x)\)

\(\sqrt{x^2 + y^2} = C.\arctan(y/x)\)

Derivando dos dois lados tem-se

\(\left(\sqrt{x^2 + y^2}\right)' = \left(C.\arctan(y/x)\right)'\)

Lembre-se das regras de derivação, assim

para a raiz temos que \((\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}\)

e para o arcotangente tem-se \((arctg(u))'=\frac{u'}{1+u^2}\)

assim, aplicando à fórmula, tem-se

\(\frac{(x^2+y^2)'}{2\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{C.(y/x)'}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\)

\(\frac{2x+2.y'.y}{2\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{C.\frac{y'x-y}{x^2}}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^2}\)

Meu caro, agora é só desenvolver e colocar \(y'=\frac{dy}{dx}\) em evidência...

Volte sempre

Cumprimentos

[josesousa]

Continuando o excelente trabalho...
\(\frac{x+y.y'}{\sqrt{x^2+y^2}} = \frac{C(y'x-y)}{x^2+y^2}\)
\(x+y.y' = \frac{C(y'x-y)}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(y.y' -\frac{Cy'x}{\sqrt{x^2+y^2}}= -x -\frac{C.y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(y'(y -\frac{Cx}{\sqrt{x^2+y^2}})= -x -\frac{C.y}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(y'=\frac{-x -\frac{C.y}{\sqrt{x^2+y^2}}}{y -\frac{Cx}{\sqrt{x^2+y^2}}}\)