Derivada pela definição envolvendo raiz quadrada no denominador

[BlackSabbathRules]

Seja a função \(v(t)=\frac{3}{\sqrt{t}}-2\sqrt{t}\) , encontre sua derivada pela definição.

[Fraol]

Bom dia,

(vou pular alguns passos - seria bom desenvolvê-los para completar o exercício)

Aplicado a definição, juntando os termos semelhantes e separando os limites você terá:

\(v'(t)= v'(t) = 3 \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \left( \frac{1}{\sqrt{t+h}} - \frac{1}{\sqrt{t}} \right ) -2 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left( \sqrt{t+h} + \sqrt{t} \right )\)

Usando um fator conveniente em cada um dos limites ...

\(v'(t) = 3 \cdot \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h} \left( \frac{\sqrt{t} - \sqrt{t+h}}{\sqrt{t+h}{\sqrt{t}}} \right )\cdot \left( \frac{\sqrt{t} + \sqrt{t+h}}{\sqrt{t} + \sqrt{t+h}} \right ) -2 \lim_{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left( \sqrt{t+h} - \sqrt{t} \right ) \cdot \left( \frac{\sqrt{t} + \sqrt{t+h}}{\sqrt{t} + \sqrt{t+h}} \right )\)


Você conseguirá simplicar as expressões e eliminar a divisão por h e chegará à seguinte resposta:

\(v'(t) = \frac{-3-2t}{2\sqrt{t^3}}\)

[BlackSabbathRules]

Muito obrigado, consegui calcular.