Diferenciação e regra do quociente

[albersonmiranda]

Prezados,

Estou tentando alcançar a equação 8, em anexo. Como usar a regra do quociente para o caso em que há mais de uma função no numerador? \(\frac{d[\frac{N(t)c(t)}{K(t)}]}{dt}\)

Anexos

[Fraol]

Boa noite,

Sem entrar no mérito do assunto, até porque foge ao conhecimento, considero que se o termo é, pelo texto exibido, constante então sua derivada é 0 (nula).

[albersonmiranda]

Na verdade, o que é constante ali é a divisão entre \(K'(t)\) e \(K(t)\), como por exemplo se \(K(t)=e^{at}\) o que daria o resultado constante "a".

Detalhando melhor a dúvida, (7) define que \(\frac{N(t)c(t)}{K(t)}+\frac{K'(t)}{K(t)}\) é igual ao termo constante \(\frac{\rho +\sigma k}{\beta }\).

Ele diz que \(\frac{K'(t)}{K(t)}\) é constante, o que implica que o primeiro termo também tem de ser constante. E, aí que entra minha dúvida, o autor prova isso diferenciando \(\frac{N(t)c(t)}{K(t)}\), o que supostamente resulta em \(\frac{K'(t)}{K(t)}=\frac{c'(t)}{c(t)}+\frac{n'(t)}{n(t)}\).

Esse é realmente o resultado de \(\frac{d\frac{N(t)c(t)}{K(t)}}{dt}\)?

[albersonmiranda]

Consegui!

\(f(t)=\frac{N(t)c(t)}{K(t)}\)
\(f(t)=[N(t)c(t)]K(t)^{-1}\)

Aplicando a regra do produto e a regra da cadeia:
\(f'(t)=[N(t)c(t)]'K(t)^{-1}+[N(t)c(t)][-K(t)^{-2}]K'(t)=0\)

Novamente a regra do produto no primeiro termo em colchetes:
\(f'(t)=[N(t)c'(t)+N'(t)c(t)]K(t)^{-1}+[N(t)c(t)][-K(t)^{-2}]K'(t)=0\)

\(f'(t)=\frac{N(t)c'(t)+N'(t)c(t)}{K(t)}-\frac{N(t)c(t)K'(t)}{K(t)^{2}}=0\)

\(\frac{N(t)c(t)K'(t)}{K(t)^2}=\frac{N(t)c'(t)K(t)+N'(t)c(t)K(t)}{K(t)^2}\)

\(\frac{K'(t)N(t)c(t)}{K(t)}=N(t)c'(t)+N'(t)c(t)\)

\(\frac{K'(t)}{K(t)}=\frac{N(t)c'(t)}{N(t)c(t)}+\frac{N'(t)c(t)}{N(t)c(t)}\)

\(\frac{K'(t)}{K(t)}=\frac{c'(t)}{c(t)}+\frac{N'(t)}{N(t)}\)

[albersonmiranda]

Então, respondendo ao tópico, a regra de diferenciação para \(f(x)=\frac{g(x)h(x)}{u(x)}\) será \(f'(x)=\frac{g(x)h'(x)u(x)+g'(x)h(x)u(x)-g(x)h(x)u'(x)}{u(x)^2}\)

[Fraol]

Boa noite,

Muito bom albersonmiranda.

Só para confirmar: você igualou a zero a derivação pelo fato dos dois termos serem constantes, certo?

[albersonmiranda]

Eu pensei em igualar à zero porque isso é parte da resolução de uma aplicação do Princípio do Máximo de Pontryagin, então maximizei. Mas se não for essa a causa, não sei qual é. Foi meio chute, infelizmente devo admitir!

[Fraol]

É bem plausível que, como os dois termos são constantes, então não variam e por isso a derivada, que é a taxa de variação, é nula. Esse deve ser o motivo matemático.

[albersonmiranda]

Ah! Agora, sim! Entendi, muito obrigado!