. Seja f(x) = arctan x.
17 mai 2014, 21:53
(a) Determine o polinômio de Taylor de grau 7 de f(x) em torno de x = 0;
Boa noite, alguém poderia me ajudar ? Estou tentando fazer essa questão, porém minha resposta nunca coincide com o gabarito... Alguém por favor poderia me explicar detalhadamente como resolver essa questão ?
Segundo o gabarito a resposta é: (a) arctan x = x - 1/3x³ + 1/5x5 - 1/7x7
Mas quando eu derivo arctan x... depois da segunda derivada, todos as derivadas seguintes terão x no numerador e no denominador, certo ? Logo daria 0 em todas as derivadas. Me ajudem, por favor!
Boa noite, alguém poderia me ajudar ? Estou tentando fazer essa questão, porém minha resposta nunca coincide com o gabarito... Alguém por favor poderia me explicar detalhadamente como resolver essa questão ?
Segundo o gabarito a resposta é: (a) arctan x = x - 1/3x³ + 1/5x5 - 1/7x7
Mas quando eu derivo arctan x... depois da segunda derivada, todos as derivadas seguintes terão x no numerador e no denominador, certo ? Logo daria 0 em todas as derivadas. Me ajudem, por favor!
Re: . Seja f(x) = arctan x.
18 mai 2014, 01:24
Olá :D
veja que :
\((arc \; tg x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}\)
\((arc \; tg x)^{\prime \prime}=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}\)
\((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime }=\frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}\)
\((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime \prime }=-\frac{24x(x^2-1)}{(1+x^2)^4}\)
\((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime \prime \prime }=\frac{24(5x^4-10x^2+1)}{(1+x^2)^5}\)
\((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime }=-\frac{240(3x^4-10x^2+3)}{(1+x^2)^6}\)
\((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime}=\frac{720(7x^6-35x^4+21x^2-1)}{(1+x^2)^7}\)
Então dá pra ver que não são todos que vão se anular...
veja que :
\((arc \; tg x)^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}\)
\((arc \; tg x)^{\prime \prime}=-\frac{2x}{(1+x^2)^2}\)
\((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime }=\frac{6x^2-2}{(1+x^2)^3}\)
\((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime \prime }=-\frac{24x(x^2-1)}{(1+x^2)^4}\)
\((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime \prime \prime }=\frac{24(5x^4-10x^2+1)}{(1+x^2)^5}\)
\((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime }=-\frac{240(3x^4-10x^2+3)}{(1+x^2)^6}\)
\((arc \; tg x)^{\prime \prime \prime \prime \prime \prime \prime}=\frac{720(7x^6-35x^4+21x^2-1)}{(1+x^2)^7}\)
Então dá pra ver que não são todos que vão se anular...
Re: . Seja f(x) = arctan x.
18 mai 2014, 02:05
Tem alguma coisa que não estou entendendo...
Até a derivada segunda eu entendi. Mas a derivada terceira não seria 8x²/(1 + x²)³ ?
Até a derivada segunda eu entendi. Mas a derivada terceira não seria 8x²/(1 + x²)³ ?
Re: . Seja f(x) = arctan x.
18 mai 2014, 14:47
\((arc \; tg x )^{\prime \prime \prime}=-\frac{(2x)^{ \prime}*(1+x^2)^2-(2x)*((1+x^2)^2)^{ \prime}}{(1+x^2)^4}\)
simplifique e verá o resultado.
simplifique e verá o resultado.
Re: . Seja f(x) = arctan x. [resolvida]
18 mai 2014, 15:48
Ou alternativamente ...
Podemos escrever \(arctan(x) = \int_{0}^x g(t^2) dt\) .
Onde \(g(t) = \frac{1}{1+t}\) .Agora basta determinar a Série de Maclaurin desta função , fazendo isto obterá
\(g(t) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n t^n\) e assim
\(arctan(x) = \int_{0}^x g(t^2) dt = \int_{0}^x \sum_{n=0}^\infty (-1)^n t^{2n}dt = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n +1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots\) .
Podemos escrever \(arctan(x) = \int_{0}^x g(t^2) dt\) .
Onde \(g(t) = \frac{1}{1+t}\) .Agora basta determinar a Série de Maclaurin desta função , fazendo isto obterá
\(g(t) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n t^n\) e assim
\(arctan(x) = \int_{0}^x g(t^2) dt = \int_{0}^x \sum_{n=0}^\infty (-1)^n t^{2n}dt = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n +1} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \dots\) .
Re: . Seja f(x) = arctan x.
29 mai 2014, 03:18
Entendi! Obrigado aos dois pela atenção e desculpem a demora para responder!
Abraço!
Abraço!