Polinômio de Taylor e estimativa do erro

[phelipegm]

Seja f(x) = arctan x

(a) Determine o polinômio de Taylor de grau 7 de f(x) em torno de x = 0;
(b) Usando (a), calcule arctan(0, 3) e estime o erro;.

Estou com dúvida na letra b, alguém pode me ajudar(detalhadamente) ?
Para facilitar disponibilizarei os dados da letra a...
f⁷(x) = 720(7x⁶-35x⁴+21x²-1)/(1+x²)⁷

arctan 0,3 aproximadamente = 0,291454757

Obrigado!

[Rui Carpentier]

Não sei se está familiarizado com séries mas vou resolver desta forma penso ser a mais económica:

Uma vez que \(\arctan x =\int_0^x\frac{1}{1+t^2}dt\) e a série de Taylor (em torno de t=0) de \(\frac{1}{1+t^2}\) é \(\sum_{k=0}^\infty (-1)^k t^{2k}\) temos que a série de Taylor (em torno de x=0) de \(\arctan x\) é \(\sum_{k=0}^\infty \int_0^x (-1)^k t^{2k}dt=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1}\). Assim sendo, o polinómio de Taylor em torno de x=0 de arctan(x) de grau 7 é \(p_7(x)=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}\). Deste modo, para qualquer \(x\in ]-1,1[\) temos que \(\arctan x =p_7(x)+r_7(x)\) onde o resto \(r_7(x)\) é dado por \(r_7(x)=\frac{x^9}{9}-\frac{x^11}{11}+\frac{x^{13}}{13}-\cdots\). Para 0<x<1 o resto é uma série alternada de termos decrescentes, logo \(0<r_7(x)<\frac{x^9}{9}\).
Visto isto, podemos dizer que \(\arctan(0,3)\approx p_7(0,3)\) com um erro inferior a \(\frac{0,3^9}{9}\).

Há outra forma de resolver sem recorrer a séries que é usar a fórmula de Lagrange para o resto: \(r_7(x)=\frac{f^{(8)(\xi)}}{8!}\) onde \(\xi\in]0,x[\). Deste modo, tem de calcular a oitava derivada de arctan(x) e determinar o máximo (ou pelo menos um majorante próximo) do valor absoluto dessa derivada no intervalo ]0,0.3[ para obter um majorante do erro.