Exercício de taxas relacionadas com regra da cadeia

[lorenajuca]

Olá! Seguinte, fiz uma prova recentemente em que caiu esta questão e tive certa dúvida na hora de resolver. .. a resposta da minha letra A deu aprox. 0, 54 m3/min mas eu n sei se era melhor te passo as unidades em m3 ou cm3...
E tive uma dúvida extrema na lebra B. Como que eu saberia quando o vazamento parou??

10. Uma tempestade no mar danificou uma plataforma de petróleo, produzindo um vazamento de 60 m3/min que forma uma mancha de forma circular com 25 cm de espessura.
(a) Qual é a taxa de aumento do raio da mancha quando o raio é de 70 m?
(b) Suponha que o defeito seja consertado de tal forma que o vazamento pare instantaneamente. Se o raio da mancha estava aumentando à taxa de 0,2 m/min quando o vazamento parou, qual foi o volume do petróleo derramado?

[Davi Constant]

Bom, partindo do princípio que o volume é um cilindro de altura constante e apenas raio variável, vem que:

\(\large v=\pi r^2 h\), então \(\large\frac{dv}{dt}=2\pi hr\frac{dr}{dt}\), onde:

\(\large\frac{dv}{dt}\) é a taxa de variação do volume no tempo; e,

\(\large\frac{dr}{dt}\) é a taxa de variação do raio no tempo.

Em (a) temos que \(\large r=70;h=0.25;\frac{dv}{dt}=60\), então

\(\large\frac{dr}{dt}=\frac{60}{2\cdot\pi\cdot 70\cdot 0.25}\)

Em (b) temos que \(\large h=0.25;\frac{dv}{dt}=60;\frac{dr}{dt}=0.2\), então

\(\large r=\frac{60}{2\cdot\pi \cdot 0.25 \cdot 0.2}\)

dái calculamos o volume derramado por\(\large v=\pi r^2 h\)

Espero ter ajudado,
qualquer dúvida sinalize.