Derivada de produto e dividão de uma função trigonométrica

[Fernandobertolaccini]

Sabendo que \(f(x) = \frac{1}{2}ln(g(x)) + \frac{3}{2}arctg\frac{x-2}{2} + 37 e\rightarrow g(x) = x^2-4x+8 , Verifique que f'(x)*g(x) - 1 = X\)

[João P. Ferreira]

se bem percebi da confusão que escreveu

\(f(x) = \frac{1}{2}ln(g(x)) + \frac{3}{2}arctg\frac{x-2}{2} + 37\)

derivando em ordem a \(x\) ou seja achando \(f'(x)\) fica-se com:

\(f'(x) = \frac{g'(x)}{2g(x)} + \frac{3}{2}\frac{\left(\frac{x-2}{2}\right)'}{1+\left(\frac{x-2}{2}\right)^2}=
=\frac{g'(x)}{2g(x)} + \frac{3}{2}\frac{1/2}{1+\frac{x^2-4x+2}{2}}=\frac{g'(x)}{2g(x)} + \frac{3}{2}\frac{1}{x^2-4x+4}\)

avance...

lembre-se da tabela de derivadas (neste caso log e arctang)
http://pt.wikipedia.org/wiki/Tabela_de_derivadas