Calculo de função que envolve derivada

[neoreload]

Pessoal como resolver essa:

Uma lata cilíndrica é feita para receber 1L de óleo. Quais as dimensões da lata, de modo a minimizar o metal gasto na sua fabricação?

Spoiler:

A área é mínima para um raio r=\(\sqrt[3]{\frac{1}{2\pi }}\); altura=\(\frac{1}{\pi \sqrt[3]{\frac{1}{2\pi }}}\)

Fiquei sem entender como resolver. Agradeço quem puder deixar o passo a passo. E só tem isso mesmo na questão, não passa mais nenhuma informação. Obrigado ^^

[Sobolev]

Para definer o cilindro temos que conhecer o seu raio (r) e altura (h), sendo que, como o volume é unitário, deve ser verificada a relação \(\pi r^2 h = 1\), ou seja, \(h = \frac{1}{\pi r^2}\). Trata-se então de determinar qual o cilindro que minimiza a superfície do cilindro.

\(S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \frac{1}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac 2r, \qquad r>0\)

\(S'(r)=0 \Leftrightarrow 4 \pi r - \frac{2}{r^2} = 0 \Leftrightarrow 4\pi r^3-2 = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{\frac{1}{2 \pi}}\)

[neoreload]

Para definer o cilindro temos que conhecer o seu raio (r) e altura (h), sendo que, como o volume é unitário, deve ser verificada a relação \(\pi r^2 h = 1\), ou seja, \(h = \frac{1}{\pi r^2}\). Trata-se então de determinar qual o cilindro que minimiza a superfície do cilindro.

\(S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \frac{1}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac 2r, \qquad r>0\)

\(S'(r)=0 \Leftrightarrow 4 \pi r - \frac{2}{r^2} = 0 \Leftrightarrow 4\pi r^3-2 = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{\frac{1}{2 \pi}}\)

E a altura amigo ?

[Sobolev]

A altura pode ser calculada depois de conhecido o raio. \(h=1/(\pi r^2)= \cdots\)

[neoreload]

A altura pode ser calculada depois de conhecido o raio. \(h=1/(\pi r^2)= \cdots\)

Obrigado amigo, entendi sim. Só fiquei em duvida novamente na parte de substituir, pq o valor encontrado para r foi \(\sqrt[3]{\frac{1}{2\pi }}\), mas na formula do h tem r². No caso o r² daria \(\frac{1}{2\pi}^{\frac{2}{3}}\) e voltando pra raiz daria \(\sqrt[3]{\frac{1}{2\pi }^{2}}\). Assim acabaria ficando diferente da resposta que é \(\frac{1}{\pi \sqrt[3]{\frac{1}{2\pi }}}\), é assim mesmo ou estou errando algo?