Reta Tangente com derivação implícita

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Pessoal como resolver essa:

Use a derivação implícita para encontrar a inclinação da reta que é tangente à curva dada para o valor especificado de x. \(xy^{3}=8; x=1\)

Spoiler:

\(y^{'}(1)=\frac{-2}{3}\)

Se possível deixar o passo a passo de como fazer. Obrigado ^^.

[João P. Ferreira]

\(x=x\)

\(y=y(x)\)

derivando dos dois lados de \(x.y^3=8\) em ordem a \(x\)

\((x.y^3)'=0\)

aplicando a regra da derivada do produto

\(y^3+3y^2 y'.x=0\)

então \(y'=-\frac{y^3}{3y^2.x}=-\frac{y}{3x}\)

avance...

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\(x=x\)

\(y=y(x)\)

derivando dos dois lados de \(x.y^3=8\) em ordem a \(x\)

\((x.y^3)'=0\)

aplicando a regra da derivada do produto

\(y^3+3y^2 y'.x=0\)

então \(y'=-\frac{y^3}{3y^2.x}=-\frac{y}{3x}\)

avance...

Amigo n entendi direito como vc chegou nesse resultado nem como eu devo avançar. Desculpa. mas estou perdido mesmo nessa questão, se puder tem como passar um pouco mais detalhado e como eu chego no valor da resposta?

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\(x=x\)

\(y=y(x)\)

derivando dos dois lados de \(x.y^3=8\) em ordem a \(x\)

\((x.y^3)'=0\)

aplicando a regra da derivada do produto

\(y^3+3y^2 y'.x=0\)

então \(y'=-\frac{y^3}{3y^2.x}=-\frac{y}{3x}\)

avance...

Pronto, consegui entender. Porém no final substituindo o x fica o \(\frac{-y}{3}\), como que o y vai virar o 2 da resposta? pois a resposta é \(\frac{-2}{3}\)

[João P. Ferreira]

a curva em \(\R^2\) (no plano) tem a expressão \(xy^3=8\) e vc está a querer saber no ponto onde \(x=1\)

logo para \(x=1\) aplicando na expressão da curva

\(1.y^3=8\)

\(y^3=8\)

\(y=2\)