Derivada. como que desenrola esse tipo.

[moises]

Ola gostaria da colaboração de você sou novo no forum não sei se estou postando no lugar certo.
estou tentando resolver essa derivada faz 3 dias sempre chego em um resultado errado.
queria que me ajudasse como resolve ou o resultado dela para mim tentar chegar nele.

calcule a derivada 1/y^2+1/x^2=1 no ponto de abcissa x=2.

[Sobolev]

Olá, seja benvindo ao fórum!

A pergunta que coloca diz respeito ao cálculo de derivadas de funções definidas implicitamente. No caso que apresenta, sabendo que a relação

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=1\)

permite, numa vizinhança de x=2 definir y como função de x, pede-se que calcule y'(2). isto pode ser feito derivando a relação indicada, isto é,

\(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=1 \Rightarrow (\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2})'= 0 \Leftrightarrow -2 x^{-3} - 2 y' y^{-3} = 0 \Leftrightarrow y'= -\frac{y^3}{x^3}\)

Assim,

\(y'(2) = -\frac{y(2)^3}{2^3}\)

Ao tentar calcular y(2) verá que precisa de mais informação, já que podemos estar a falar de dois valores distintos de y.