Integral e o calculo volume

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Pessoal estou sem saber fazer essa questão que é pra achar o volume usando integral:

Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno a reta indicada, da região limitada pelas seguintes curvas:

y =\({x}^{4}\), y =1; a reta y = 2

Resposta:

Spoiler:

\(\frac{208\pi}{45}\)

Estou bem no inicio da disciplina, se possível colocar o passo de maneira simples, pq fiquei sem entender, e gostaria de entender bem. Eu sei que usa a integral, mas não estou sabendo usar a formula. Estou precisando dessa pra continuar os estudos

[pedrodaniel10]

Tenha paciência. Neste forum apenas quem quer e quem pode responde.
Fiquei confuso sobre a reta para a qual a rotação é feita. Poderia esclarecer?

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Tenha paciência. Neste forum apenas quem quer e quem pode responde.
Fiquei confuso sobre a reta para a qual a rotação é feita. Poderia esclarecer?

Rapaz o que tem aqui é só isso mesmo. Que é feita a rotação na reta y=2 .

[pedrodaniel10]

Ok, vou tentar então montar aqui algo de forma a que você entenda o processo. Dado esta construção:

Spoiler:

Gráfico

Capturar.JPG (26.32 KiB) Visualizado 3375 vezes

A forma de calcular o volume do sólido que se quer, que é apenas o que está a verde teremos de calcular conjuntamente o total (verde+azul) e retirar o volume do azul.
O método que iremos utilizar é o método dos cilindros, isto é, da mesma forma que se usa para a rotação em relação ao eixo x.

Por partes, peguemos primeiro no total (azul+verde), e peguemos uma secção para o qual tem \(x\in [-1;1]\) que se gera a partir da rotação em relação à reta y=2 e caracteriza-mos.
\(r=2-f(x)
A=\pi \left ( 2-f(x) \right )^2
V_{Total}=\pi \left ( 2-f(x) \right )^2 \: dx\)

Para o qual \(f(x)=x^4\)
Tendo o raio, a área é dada por \(\pi r^2\) e o volume é dado pela a \(A \times dx\), dx que é a altura/largura do cilindro, uma altura ínfima, muito pequena a tender para zero. Então o volume do sólido total será:

\(V_{Total}=\int_{-1}^{1}\pi \left ( 2-x^4 \right )^2 \: dx\)

Mas aqui está tudo (azul+verde) e nós não queremos isso, queremos apenas o do verde. Para isso retira-se o azul, raciocinando da mesma forma. Para a parte azul:
\(r=1
A=\pi 1^2=\pi
V_a=\pi \: dx\)

Desta forma o volume do sólido pretendido é dado por:
\(V_v=V_{Total}-V_a
V_v=\int_{-1}^{1}\pi \left ( 2-x^4 \right )^2 \: dx-\int_{-1}^{1}\pi \: dx=\fbox{\int_{-1}^{1}\pi \left ( 2-x^4 \right )^2 -\pi\: dx}\)

Bom, agora são só contas. Com certeza irá dar o resultado do gabarito. Qualquer dúvida só perguntar.

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Ok, vou tentar então montar aqui algo de forma a que você entenda o processo. Dado esta construção:

Spoiler:

Gráfico

Sem Título-1.jpg

Capturar.JPG

A forma de calcular o volume do sólido que se quer, que é apenas o que está a verde teremos de calcular conjuntamente o total (verde+azul) e retirar o volume do azul.
O método que iremos utilizar é o método dos cilindros, isto é, da mesma forma que se usa para a rotação em relação ao eixo x.

Por partes, peguemos primeiro no total (azul+verde), e peguemos uma secção para o qual tem \(x\in [-1;1]\) que se gera a partir da rotação em relação à reta y=2 e caracteriza-mos.
\(r=2-f(x)
A=\pi \left ( 2-f(x) \right )^2
V_{Total}=\pi \left ( 2-f(x) \right )^2 \: dx\)

Para o qual \(f(x)=x^4\)
Tendo o raio, a área é dada por \(\pi r^2\) e o volume é dado pela a \(A \times dx\), dx que é a altura/largura do cilindro, uma altura ínfima, muito pequena a tender para zero. Então o volume do sólido total será:

\(V_{Total}=\int_{-1}^{1}\pi \left ( 2-x^4 \right )^2 \: dx\)

Mas aqui está tudo (azul+verde) e nós não queremos isso, queremos apenas o do verde. Para isso retira-se o azul, raciocinando da mesma forma. Para a parte azul:
\(r=1
A=\pi 1^2=\pi
V_a=\pi \: dx\)

Desta forma o volume do sólido pretendido é dado por:
\(V_v=V_{Total}-V_a
V_v=\int_{-1}^{1}\pi \left ( 2-x^4 \right )^2 \: dx-\int_{-1}^{1}\pi \: dx=\fbox{\int_{-1}^{1}\pi \left ( 2-x^4 \right )^2 -\pi\: dx}\)

Bom, agora são só contas. Com certeza irá dar o resultado do gabarito. Qualquer dúvida só perguntar.

Amigo, se não for pedir muito, tem alguma forma de ver isso tudo sem usar grafico? pq eu meio q estou perdido em como montar eles. Pq na grande maioria eu consigo fazer com o valor que é passo no y, que nesse caso é x^4 e 1. Não tinha como usar ele só n?

[pedrodaniel10]

Todo o meu raciocínio é com base no gráfico. Neste tipo de matéria o esboço é meio caminho andado para o sucesso. Não só para a resolução, mas para entender o que se está a fazer. Os gráficos dados são algo básicos e que se tem de saber sem hesitar. Recomendo a que treine este tipo de exercícios.

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Todo o meu raciocínio é com base no gráfico. Neste tipo de matéria o esboço é meio caminho andado para o sucesso. Não só para a resolução, mas para entender o que se está a fazer. Os gráficos dados são algo básicos e que se tem de saber sem hesitar. Recomendo a que treine este tipo de exercícios.

Amigo eu fiz aqui do ponto que vc deixou, e o resultado que deu foi \(\frac{298\pi}{45}\) e não a resposta \(\frac{208\pi}{45}\). é assim mesmo?

[pedrodaniel10]

Acho que esqueceu de antiderivar \(-\pi\).

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Acho que esqueceu de antiderivar \(-\pi\).

mas \(-\pi\) n é uma constante? então ele ficaria \(-\pi\) mesmo. Não entendi

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Acho que esqueceu de antiderivar \(-\pi\).

mas \(-\pi\) n é uma constante? então ele ficaria \(-\pi\) mesmo. Não entendi

ou no caso, \(-\pi x\)