Derivada do produto de duas funções compostas

[L.C.M., Taylon]

Olá

Como proceder no caso de calcular essa derivada:

\(g(x) = (1+4x)^5(3x+x-x^2)^8\)

No caso um produto de duas funções compostas.

Devo utilizar a regra do produto, seguido da regra da cadeia?

Seja

\(f(i(x)) = (1+4x)^5\)

\(p(h(x)) = (3+x-x^2)^8\)

Então:

\(g(x)=f(i(x)).p(h(x))\Rightarrow g`(x) = (f(i(x)).p(h(x)))`\Rightarrow g`(x) = f`(i(x)).p(h(x))+f(i(x)).p`(h(x))\Rightarrow g`(x)=[f`(i(x)).i`(x)](p(h(x))) + f(i(x))[p`(h(x)).h`(x)]\)

Está correto isso? Teria alguma forma mais sintetizada de calcular?

Obrigado.

OBS: \(g`(x)\) se refere a derivada da função g(x), assim como para as outras funções.

[pedrodaniel10]

O que pretende é derivar a função g(x) certo ?

\(g(x) = (1+4x)^5(3x+x-x^2)^8\)

Seja então:

\(u=(1+4x)^5
u'=20(1+4x)^4
v=(4x-x^2)^8
v'=8(4x-x^2)^7(4-2x)\)

\(g'(x)=u'v+uv'=20.(1+4x)^4.(4x-x^2)^8+(1+4x)^5.8.(4x-x^2)^7.(4-2x)\)