Instante em que concentração é máxima - Baseado em função

[Estudioso]

A função \(C(t)=\frac{3t}{54+t^3}\) refere-se a concentração de certa substância química no fluxo sanguíneo t horas após ter sido injetada. Qual o instante em que essa concentração é máxima?

Obrigado

[Sobolev]

Esta função é positiva, diferenciável em \([0, +\infty[\), \(\lim_{t \to +\infty} C(t) = 0\) e temos também C(0)=0. Deste modo a função terá um máximo global neste intervalo, e o mesmo irá ocorrer num pontom onde C'(t)=0. Consegue prosseguir?

[Estudioso]

Tomando como base essas orientações valorosas que me deste pensei em aplicar esse Teorema para encontrar o(s) valor(es) de máximo global (is).

Seja f uma função contínua definida num intervalo fechado [a,b]. O valor de máximo absoluto pode ser encontrado seguindo o roteiro:

1. Encontrar os valores f(c) para todo ponto crítico c no intervalo (a,b).

2. Calcular os valores f(a) e f(b).

3. O maior valor encontrado nas etapas 1 e 2 é o máximo absoluto de f.

Já na etapa 1 tenho uma dificuldade. Cheguei em: \(54+t^2-3t^3 = 0\). Como prosseguir? O caminho é esse mesmo?

Obrigado

[Sobolev]

Tem uma pequena gralha no cálculo da derivada. Os pontos criticos de C são as soluções da equação

\(C'(t)=0 \Leftrightarrow \frac{3(54+t^3)-3t (3t^2)}{(54+t^3)^2)} = 0\Leftrightarrow 54+t^3-3t^3 = 0 \Leftrightarrow t^3 = 27 \Leftrightarrow t=3\). Estudando o sinal da derivada, vê que c é crescente até t=3 e decrescente a partir daí, pelo que t=3 é o ponto onde é atingido o máximo global, que é \(C(3)= 1/9\).

[Estudioso]

Displicência minha por aqui.

Muito obrigado.

Abraço