Derivadas laterais de uma função num ponto

[TelmaG]

Boa tarde, não consigo compreender a resolução do seguinte exercício.

Seja f a função cujo gráfico está representado em cima.

Calcule as derivadas laterais da função f, no ponto 1.

Resposta

Para x ≠ 1, a função f é constante. Seja a essa constante e seja b o valor de f (1)
Tem-se a > b , pelo que a-b > 0

\(\large f\, ^{'}\left ( 1\, ^{-} \right )=\lim_{x\rightarrow 1\, ^{-}}\, \frac{f\left ( x \right )-f\left ( 1 \right )}{x-1}=\, \frac{a-b}{0\, ^{-}}=-\infty\)

\(\large f\, ^{'}\left ( 1\, ^{+} \right )=\, \lim_{x\rightarrow 1\, ^{+}}\, \frac{f\left ( x \right )-f\left ( 1 \right )}{x-1}=\, \frac{a-b}{0\, ^{+}}=+\infty\)

Porque não posso afirmar que \(f\, ^{'}\left ( 1\, ^{-} \right )=f\, ^{'}\left ( 1\, ^{+} \right )=0\) , uma vez que o declive é zero por ser uma função constante?

[Sobolev]

A definição de derivada faz intervir o valor da função no ponto em que é calculada, e o resultado encontrado é apenas uma consequência disso... Quando a Telma fala no declive está a esquecer que a função toma um valor diferente no ponto x=1. Uma tangente ao gráfico passaria no ponto (1, f(1)).

[TelmaG]

Sobolev, quando diz que a função toma um valor diferente no ponto x=1, quer dizer que como a função é descontínua neste ponto, não se aplica o critério da derivabilidade e portanto não existe tangente ao gráfico em x=1?

[Sobolev]

Exacto, quando calcula o limite na definição de derivada, este apenas tem alguma chance de existir se a função for continua. Se a função não for contínua o numerador não tende para zero e o limite é fatalmente infinito (ou não existe).