Como utilizar a série de Maclaurin para demonstrar a equação de Euler e^ix=cos( x )+i∙ sen(x)

[Nil]

Pessoal,

Não estou conseguindo resolver esta questão. Se alguém puder me ajudar, ficarei muito feliz.

Como utilizar a série de Maclaurin para demonstrar a equação de Euler \(e^{ix}=cos(x)+i.sen(x)\).

Obrigado.

Nil

[skaa]

\(e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^5}{5!}+...\)

\(e^{ix}=1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+...=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}-...=(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...)+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...)=cos\ x+isin\ x\)

[Nil]

\(e^z=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\frac{z^5}{5!}+...\)

\(e^{ix}=1+\frac{ix}{1!}+\frac{(ix)^2}{2!}+\frac{(ix)^3}{3!}+\frac{(ix)^4}{4!}+\frac{(ix)^5}{5!}+...=1+ix-\frac{x^2}{2!}-i\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+i\frac{x^5}{5!}-...=(1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...)+i(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...)=cos\ x+isin\ x\)

skaa,

Não querendo "abusar" da sua ajuda, gostaria de saber, como faço isso para \(e^{i\pi }+1=0\)?

Agradeço.

Nil

[Nil]

skaa,

Não querendo "abusar" da sua ajuda, mas como faz isso para \(e^{i\pi}+1=0\) ?

Agradeço.

Nilson

[skaa]

Série de Taylor:
\(cos\ x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...\)
\(sin\ x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...\)
veja:
https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series