Otimização Derivada Aplicada Proximidade Ponto

[holandesa4]

Encontre, utilizando os conceitos de Cálculo I, o(s) ponto(s) da curva y = 4/(x^2) que está(ão) mais próximo(s) da origem.

To com duvida nessa, temos que usar otimização, como faço?

[Baltuilhe]

Bom dia!

Para calcular distância entre dois pontos usamos a seguinte fórmula:
\(d=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}\)
Or
\(d^2=D=\Delta x^2+\Delta y^2\)

O que precisamos é de um 'd^2' mínimo para termos a menor distância entre os pontos desejados.
Como um dos pontos é o (0,0) (origem) então:
\(D=(x-0)^2+\left(\frac{4}{x^2}-0\right)^2
D=x^2+\frac{16}{x^4}
\frac{\mathrm{d} D}{\mathrm{d} x}=2x-4\frac{16}{x^5}=0
2x=\frac{64}{x^5}
x^6=32
x=\sqrt[6]{32}\)

Então:
\(y=\frac{4}{x^2}=\frac{4}{\left(\sqrt[6]{32}\right)^2}=\frac{2^2}{2^{5/3}}=2^{1/3}=\sqrt[3]{2}\)