Equação Diferencial - Decaimento do Plutônio 241

[Estudioso]

Resolva o problema abaixo através do Método de separação de variáveis.

Considere a equação diferencial \(\frac{dQ}{dt}=-0,00525Q\) (Q está em miligramas e t em anos) onde descreve o decaimento do Plutônio 241.

a) Determine a meia vida do plutônio.

b) Faça o gráfico de Q = Q(t)

Agradeço

[João P. Ferreira]

É uma equação diferencial

\(\frac{dQ}{dt}=-0,00525Q\)

\(dQ=-0,00525Q dt\)

\(\frac{1}{Q}dQ=-0,00525 dt\)

quando está nesta forma, ou seja, as variáveis separadas, basta integrar dos dois lados

\(\int \frac{1}{Q}dQ=\int (-0,00525) dt\)

\(\int \frac{1}{Q}dQ=-0,00525 \int dt\)

\(ln|Q|=-0,00525 t+C\)

\(\fbox{Q(t)=C.e^{-0,00525 t}\)

em \(t_0=0\) temos \(Q(0)=C\)

precisamos de descobrir em que valor de \(t=t_1\) temos \(Q(t_0)/2\)

ou seja, basta resolver a seguinte equação

\(Q(t_1)=Q(t_0)/2\)

\(C.e^{-0,00525 t_1}=C/2\)

\(e^{-0,00525 t_1}=1/2\)

\(-0,00525 t_1=ln(1/2)\)

\(t_1=\frac{ln(2)}{0,00525 }\)

acho que as contas estão certas

[João P. Ferreira]

Caso não esteja à vontade com equação diferenciais e visto que se trata sempre de uma equação linear de primeira ordem, basta aplicar as fórumulas normais caso a caso:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7 ... m#Exemplos

[Estudioso]

Bom dia João P. Ferreira!

Excelente explicação João

Amigo, me ficou apenas uma dúvida quanto ao exercício b. Basta plotar o gráfico da função \(Q(t)=C.e^{-0,00525t}\) para diferentes valores de \(C\) e \(t\)?

Não entendi como criar esse gráfico.

Obrigado

[João P. Ferreira]

Caso não deem nenhum ponto de Q(t), como Q(0) terá que atribuir um ponto para achar C.
Normalmente nesses exercícios, pode-se fazer Q(0)=100%

O exemplo da figura é para o Carbono 14.

Anexos

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