Temperatura Café - Derivada (Instante - Cálculo)

[Estudioso]

Resolva o problema abaixo através do Método de separação de variáveis.

A temperatura de uma xícara de café quente obedece a Lei do Resfriamento de Newton \(\frac{d\theta (t)}{dt}=-k(\theta -T)\). Se a temperatura do café for \(98,3\)°C logo após coado e \(3\) minutos depois estiver a temperatura de \(88,2\)°C, calcule o instante em que a temperatura do café estiver a \(57,4\)°C.

Dado: A temperatura ambiente é de T = 26,3°C.

Agradeço

[João P. Ferreira]

Quando estamos perante eq. diferenciáveis, a primeira coisa que tentamos fazer, é analisar para ver se as variáveis são separáveis

\(\frac{d\theta}{dt}=-k(\theta -T)\)

\(\frac{d\theta}{\theta -T}=-k.dt\)

estão separadas, agora integramos

\(\int \frac{d\theta}{\theta -T}=-k \int dt\)

\(ln|\theta -T|=-k.t+C\)

\(\theta -T=e^{-k.t+C}=e^C.e^{-k.t}\)

\(e^C\equiv C\)

então

\(\fbox{\theta (t) =C.e^{-k.t}+T}\)

agora é fácil

[Estudioso]

Não acho fácil

Estou perdido para desenvolver sozinho. Pode me ajudar por favor?

Obrigado

[João P. Ferreira]

Sabe o valor do T=26,3 e sabe que Q(0)=98,3 e assim consegue achar o C pois

\(Q(0)=C.e^0+T\)

\(Q(0)=C+T\)

\(C=Q(0)-T\)

sabendo o \(C\) e na mesma lógica, acha o \(k\)