Cálculo de maximização de área

[Jow]

Um agricultor quer aproveitar uma parte de um muro já existente
em sua propriedade e 180 metros de tela de arame para construir um cercado retangular a fim
de plantar hortaliças. Nessas condições, obtenha as dimensões dos lados da cerca de modo
que a área cercada seja máxima, de acordo com as medidas x e y da figura em anexo:

Anexos

figura.png (1.39 KiB) Visualizado 4343 vezes

[Sobolev]

Então, queremos maximizar a área dada por \(A(x,y)=xy\), sabendo que dispomos de 180m de cerca, isto é, que \(2x+y=180\). Como a restrição permite determinar y em termos de x, a função área pode ser simplesmente \(a(x)=x(180-2x)\). Esta função tem um único ponto critico:

\(a'(x)=0 \Leftrightarrow 180-4x = 0 \Leftrightarrow x=45\)

Como a''(45)=-4 < 0 e a função é concava (a''(x)<0) este ponto critico é um maximizante global. A área será maximizada com o rectangulo obtido quando x = 45, y=90.

[jorgeluis]

tamanho da cerca:

2x + y = 180

área do terreno:

x . y

se,
y = 180 - 2x
então, a função dada pela área é:
f(x) = x . (180 - 2x)

f(x) = -2x² + 180x

a maximização da área (ponto máximo) é dada pelas coordenadas do vértice dessa parábola.

assim, temos:

x_v = -b/2a
x_v = 45

logo,
se x = 45, y = 90