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Bom, vamos lá...
Seja \(\large ABCD\) um retângulo inscrito em uma circunferência de centro \(\large O\) e raio \(\large R\).
Seja \(\large M\) o ponto médio de \(\large \bar{AB}\) e \(\large N\) o ponto médio de \(\large \bar{BC}\) e \(\large \theta\) o ângulo \(\large \widehat{BON}\).
Temos, então, as seguintes relações imediatas:
\(\large \bar{BM}=R\cos{\theta}\)
\(\large \bar{BN}=R\sin{\theta}\)
\(\large \bar{AB}=\bar{CD}=2R\cos{\theta}\)
\(\large \bar{BC}=\bar{AD}=2R\sin{\theta}\)
Vem que o perímetro é uma função do ângulo \(\large f(\theta)=2R\sin{\theta}+2R\cos{\theta}\). Fazendo o teste da primeira derivada, conseguiremos determinar qual ângulo produz um perímetro máximo.
\(\large {f}'(\theta)=2R\cos{\theta}-2R\sin{\theta}\rightarrow 2R\cos{\theta}-2R\sin{\theta}=0\rightarrow\theta=\frac{\pi}{4}\)
*Sabendo que \(\large 0< \theta<\frac{\pi}{2}\).
Daí concluímos que o perímetro máximo ocorre para \(\large \theta=\frac{\pi}{4}\), caracterizando um quadrado.
Espero ter ajudado,
Qualquer dúvida sinalize.
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"A Matemática é a linguagem com o qual Deus escreveu o universo"
Galileu Galilei
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