teorema de Lagrange ou valor médio

[hsmofm]

\(0<x<y\)

Prove

\(1-(x/y) < log(y/x) < (y/x) - 1\)

Penso que será para utilizar o teorema valor medio mas estou um pouco perdido...

[Sobolev]

Uma ajuda... Se designar \(w = y/x\), terá \(w \in ]1 , +\infty[\). Aplicando o teorema do valor médio à função logaritmo no intervalo [1,w] terá

\(\frac{\log w - \log 1}{w - 1} = \frac{1}{w^*}, \quad w^* \in ]1,w[\)

ora, como \(1/w^* < 1\), teremos

\(\frac{\log w}{w-1} < 1 \Leftrightarrow \log w < w-1 \Leftrightarrow \log(y/x) < (y/x)-1\)

Isto demonstra uma das desigualdades.

[hsmofm]

Boa tarde,

Mesmo assim não entendi... será que fui claro no enunciado:

\(0 < x < y\)

Provar que a função:

\((1 - \frac{b}{y}) < (\log \frac{y}{x}) < (\frac{y}{x}-1)\)

obrigado...

[Sobolev]

Sim, foi claro no enunciado... Quando quer aplicar o teorema do valor médio tem que decidir duas coisas:

i. Qual a função à qual aplicar o teorema;
ii. Qual o intervalo que vai considerar.

Neste caso vamos utilizar a função \(f(w)=\log w\), no intervalo \([1, y/x]\). Assim, o teorema do valor médio garante que existe pelo menos um ponto \(w^* \in ] 1, y/x[\) tal que

\(\frac{f(y/x)-f(1)}{(y(x)-1} = f'(w^*)\)

isto é,

\(\frac{\log(y/x)-\log1 }{(y/x)-1} = \frac{1}{w^*}\)

Agora, tendo em conta que \(w^* >1\), vemos que \(\frac{1}{w^*}<1\), pelo que

\(\frac{\log(y/x)-\log1 }{(y/x)-1} < 1 \quad \Leftrightarrow \log(y/x) < (y/x)-1\)

[hsmofm]

porque o log(1) donde vem???

obrigado

[Sobolev]

Quando aplicamos o Teo. de Lagrange a f no intervalo [a,b] o que concluímos que existe pelo menos um número \(c \in ]a,b[\) tal que

\(\frac{f(b)-f(a)}{b-a} = f'(c)\)

No nosso caso, temos a = 1 e b = y/x, pelo que f(a) = f(1)=log(1)=0 e f(b)=f(y/x)=log(y/x).

[hsmofm]

a minha questão é de onde vem o a=1?????

[Sobolev]

Temos que ser nós a escolher o que vai em cada caso desempenhar o papel de a, b e até da própria função f. Depende do que pretendemos demonstrar... Neste caso, como temos do lado direito da desigualdade o termo (y/x) - 1, vemos que ao escolher a=1 e b = y/x, ficamos com um termo (b-a), que surge no teorema. Não existe um método bem delineado para fazer estas escolhas, nem elas são únicas.