Fórum de Matemática
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Mostra que, se existe f'(a), então:
\(\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h}=f'(a)\)

\(\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a-h)+f(a)-f(a)}{2h}\)


\(\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)-f(a-h)+f(a)}{2h}\)


\(\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{2h}-\lim_{h \to 0}\frac{f(a-h)-f(a)}{2h}\)


\(\frac{1}{2}*\lim_{h \to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-\frac{1}{2}*\lim_{h \to 0}\frac{f(a-h)-f(a)}{h}\)


no segundo limite faça a substituição : \(u=a-h \;\; h \to 0 \;\; u \to a\) :


\(\frac{1}{2}*f'(a)-\frac{1}{2}*\lim_{u \to a}\frac{f(u)-f(a)}{a-u}\)


\(\frac{1}{2}*f'(a)+\frac{1}{2}*\lim_{u \to a}\frac{f(u)-f(a)}{u-a}\)


\(\frac{1}{2}*f'(a)+\frac{1}{2}*f'(a)\)


\(\fbox{\fbox{f'(a)}}\)