Derivada

[fff]

Seja a um número real e seja f a função de domínio IR\\(\left \{ -a \right \}\) definida por:
\(f(x)=x+\frac{1}{x+a}\)
Determina a de modo que o valor de x para o qual a função atinge o mínimo relativo seja igual ao dobro do valor de x para o qual a função atinge o máximo relativo.
Resposta: a=-3

[Sobolev]

A função é diferenciável em todo o seu domínio, e ilimitada na vizinhança de x=-a. Assim, o máximo e mínimo relativos de que se fala no enunciado devem ser pontos onde f'(x) = 0.

\(f'(x)=0 \Leftrightarrow 1- \frac{1}{(x+a)^2} = 0 \Leftrightarrow \frac{(x+a)^2-1}{(x+a)^2} = 0 \Leftrightarrow (x+a)=\pm 1 \Leftrightarrow x = 1-a \vee x = -1-a\)

\(f''(1-a)=2 >0, \qquad f''(-1-a) = -2 < 0\)

Assim vemos que x=1-a é minimizante local e x=-1-a é maximizante local.

Devemos então determinar a de modo que

\(1-a = 2(-1-a) \Leftrightarrow a = -3.\)