Achar erro em diferenciação para theta

[albersonmiranda]

Caros,

Estou com uma dúvida na diferenciação de um par de equações:

\(c(t)^{-\sigma}=\theta_1(t)\)

\(\theta_1(t)(1-\beta)AK(t)^\beta[u(t)h(t)N(t)]^{-\beta}h(t)^{\gamma+1}N(t)=\theta_2\delta h(t)\)

As premissas são:

\(\frac{\dot{c}(t)}{c(t)}=\frac{\dot{K}(t)}{K(t)}=k\)

\(\frac{\dot{h}(t)}{h(t)}=v\)

\(\frac{\dot{N}(t)}{N(t)}=\lambda\)

\(\frac{\dot{u}(t)}{u(t)}=0\)

O objetivo é encontrar \(\frac{\dot{\theta}_1}{\theta_1}\) e \(\frac{\dot{\theta}_2}{\theta_2}\). Meus resultados foram:

\(\frac{\dot{\theta}_1}{\theta_1}=-\sigma k\)

\(\frac{\dot{\theta}_2}{\theta_2}=k(\beta-\sigma)-v(\beta-\gamma)+\lambda(1-\beta)\)

Minha dúvida é na última. O artigo dá a seguinte resposta:

\(\frac{\dot{\theta}_2}{\theta_2}=k(\beta-\sigma)-v(\beta-\gamma)+\lambda\)

Poderiam me dizer se minha resposta está realmente errada? Se estiver, escrevo meu desenvolvimento aqui para indicarem onde está o erro.

[albersonmiranda]

Errata: Na segunda equação, onde está \(\theta_2\), leia-se \(\theta_2(t)\)

[Sobolev]

O seu resultado está sem qualquer dúvida correcto. Substituindo pelas soluções de cada uma das EDO's

\(K(t) = c_1 e^{k t}
h(t)= c_2 e^{v t}
N(t)= c_3 e^{\lambda t}
u(t) = c_4
\theta_1(t) = c_5 e^{k t}\)

Verifica-se directamente que

\(\frac{\dot{\theta_2}(t)}{\theta_2(t)}=\lambda - k \sigma + \beta (k - \lambda - v) + \gamma v = k(\beta -\sigma) -v(\beta-\gamma)+\lambda(1-\beta)\)