Derivada de uma função trigonométrica

[Fernandobertolaccini]

dê a derivada de : y= x-arctg[raiz(1-cosx/1+cosx)]

Resp: y' = (1/2)

[aisilva]

Para resolver este exercícios é necessário conhecer as seguintes regras de derivação gerais:

\(\left ( \frac{u}{v} \right )'=\frac{u'v-v'u}{v^{2}}\)

\(u^{n}= n.u^{n - 1}.u'\)

\(\left ( cosx \right )'=-senx\)

\(\left ( arctg(u) \right )'=\frac{u'}{1+u^{2}}\)

Também é necessário lembrar a fórmula fundamental da trigonometria: \(sen^{2}x+cos^{2}x=1\Leftrightarrow sen^{2}x=1-cos^{2}\)

Tendo em conta estes dados, a resolução é a seguinte:

\(\left [ x-arctg\left ( \sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}} \right ) \right ]'= x'-\left [arctg\left ( \sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}} \right ) \right ]'=1-\frac{\left ( \sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}} \right )'}{1+\left ( \sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}} \right )^{2}}=
=1-\frac{[(\frac{1-cosx}{1+cosx})^{\frac{1}{2}}]'}{1+\left ( \sqrt{\frac{1-cosx}{1+cosx}} \right )^{2}}=1-\frac{[\frac{1}{2}(\frac{1-cosx}{1+cosx})'(\frac{1-cosx}{1+cosx})^{-\frac{1}{2}}]}{1+\frac{1-cosx}{1+cosx}}=
=1-\frac{\frac{1}{2}\left [ \frac{(1-cosx)'(1+cosx)-(1-cosx)(1+cosx)'}{\left (1+cosx\right )^{2}} \right ](\frac{1+cosx}{1-cosx})^{\frac{1}{2}}}{\frac{1+cosx+1-cosx}{1+cosx}}= 1-\frac{\frac{1}{2}\left [ \frac{senx+senxcosx+senx-senxcosx } {\left (1+cosx\right )^{2}\right ](\frac{1+cosx}{1-cosx})^{\frac{1}{2}}}}{\frac{2}{1+cosx}}=
=1-\frac{\frac{senx} {\left 2(1+cosx\right )^{2}} (\frac{1+cosx}{1-cosx})^{\frac{1}{2}}}{\frac{2}{1+cosx}}=1-\frac{senx(\frac{1+cosx}{1-cosx})^{\frac{1}{2}}}{2(1+cosx)}=1-\frac{ senx(1+cosx)^{-\frac{1}{2}}}{2(1-cosx)^{\frac{1}{2}}}=1-\frac{senx}{2(1-cosx)^{\frac{1}{2}}(1+cosx)^{\frac{1}{2}}}=
=1-\frac{senx}{2[(1-cosx)(1+cosx)]^{\frac{1}{2}}}=1-\frac{senx}{2\sqrt{(1-cos^{2}x)}}=1-\frac{senx}{2\sqrt{sen^{2}x}}=1-\frac{senx}{2senx}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

[Walter R]

Fernando, para esclarecer tua dúvida, note que na demonstração dada acima:
\(\frac{senx\sqrt{\frac{1+cosx}{1-cosx}}}{2(1-cosx)}=\frac{senx\left ( 1+cosx \right )^{\frac{1}{2}}}{2(1-cosx)^{\frac{1}{2}}(1+cosx)}=\frac{senx(1-cosx)^{\frac{1}{2}}(1+cosx)^{\frac{1}{2}}}{2(1-cosx)(1+cosx)}=\frac{senx(1-cos^2x)^{\frac{1}{2}}}{2(1-cos^2x)}=\frac{senx(sen^2x)^{\frac{1}{2}}}{2sen^2x}=\frac{sen^2x}{2sen^2x}=\frac{1}{2}\)