Fórum de Matemática
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Seja f uma função diferenciável em IR\{0} e tal que
\(\lim_{x \mapsto 0^{-} }f'(x)= \lim_{x \mapsto 0^{+} }f'(x)\)
Mostre, construindo um contra-exemplo (através dum gráfico ou duma expressão analítica) que a condição anterior não chega para garantir que f é diferenciável em x=0. Que outra condição deve satisfazer a função para garantir que f é diferenciável em x=0? Qual será então o valor de f'(0)?

Pense por exemplo na função

\(f(x)=\left\{\begin{array}{rl} -1, & x < 0 \\ 1, & x>0\end{array}\right.\)

Tem neste caso que \(f'(x)=0,\quad x \ne 0\) e no entanto a função não é sequer contínua.