Como encontro maximos e minimos ?

[Jmonteiro91]

Boa noite necessito obter o maximo e minimo da seguinte questao : x^4 -8x^3 + 18x^2 -11

peço por gentileza a ajuda de voces, pois estou com dificuldades

[Baltuilhe]

Bom dia!

Para obter pontos de máximo/mínimo de uma função basta calcular a derivada primeira e encontrar onde esta derivada vale zero.
\(f(x)=x^4-8x^3+18x^2-11
f'(x)=4x^3-3\cdot 8x^2+2\cdot 18x
f'(x)=4x^3-24x^2+36x
f'(x)=4x(x^2-6x+9)\)

Resolvendo esta equação, encontraremos 2 respostas:
x=0
x=3

Para saber se o ponto corresponde a máximo ou mínimo podemos utilizar o sinal da derivada segunda.
\(f'(x)=4x^3-24x^2+36x
f''(x)=3\cdot 4x^2-2\cdot 24x+36
f''(x)=12x^2-48x+36
f''(x)=12(x^2-4x+3)\)

Substituindo:
\(f''(0)=12(3)=36 \text{ Positivo, ponto de minimo relativo}
f''(3)=12(3^2-4\cdot 3+3)=12(9-12+3)=12(0)=0 \text{ Temos que analisar o sinal da derivada}\)

Analisando os sinais da derivada segunda (antes e depois do número 3):
\(f''(x)>0 \Leftrightarrow x < 1 \text{ ou } x > 3
f''(x)<0 \Leftrightarrow 1<x<3\)

Podemos observar que o sinal muda ao passar pelo x=3 (onde a derivada segunda vale zero), portanto, este é um ponto de inflexão (nem máximo, nem mínimo, mas um ponto onde a concavidade da curva muda).

Então:
x=0 ==> Ponto de mínimo relativo
x=3 ==> Ponto de inflexão

Espero ter ajudado!