Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Um Fórum em Português dedicado à Matemática
Data/Hora: 09 jul 2025, 01:42

Os Horários são TMG [ DST ]




Fazer Nova Pergunta Responder a este Tópico  [ 5 mensagens ] 
Autor Mensagem
MensagemEnviado: 15 Oct 2015, 16:43 
Offline

Registado: 24 nov 2014, 15:04
Mensagens: 369
Localização: Minas Gerais
Agradeceu: 45 vezes
Foi agradecido: 72 vezes
Resolva o problema abaixo através do Método de separação de variáveis.

Considere a equação diferencial \(\frac{dQ}{dt}=-0,00525Q\) (Q está em miligramas e t em anos) onde descreve o decaimento do Plutônio 241.

a) Determine a meia vida do plutônio.

b) Faça o gráfico de Q = Q(t)

Agradeço


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 15 Oct 2015, 19:34 
Offline

Registado: 05 jan 2011, 12:35
Mensagens: 2235
Localização: Lisboa
Agradeceu: 683 vezes
Foi agradecido: 346 vezes
É uma equação diferencial

\(\frac{dQ}{dt}=-0,00525Q\)

\(dQ=-0,00525Q dt\)

\(\frac{1}{Q}dQ=-0,00525 dt\)

quando está nesta forma, ou seja, as variáveis separadas, basta integrar dos dois lados

\(\int \frac{1}{Q}dQ=\int (-0,00525) dt\)

\(\int \frac{1}{Q}dQ=-0,00525 \int dt\)

\(ln|Q|=-0,00525 t+C\)

\(\fbox{Q(t)=C.e^{-0,00525 t}\)

em \(t_0=0\) temos \(Q(0)=C\)

precisamos de descobrir em que valor de \(t=t_1\) temos \(Q(t_0)/2\)

ou seja, basta resolver a seguinte equação

\(Q(t_1)=Q(t_0)/2\)

\(C.e^{-0,00525 t_1}=C/2\)

\(e^{-0,00525 t_1}=1/2\)

\(-0,00525 t_1=ln(1/2)\)

\(t_1=\frac{ln(2)}{0,00525 }\)

acho que as contas estão certas

_________________
João Pimentel Ferreira
 
Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!
Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 15 Oct 2015, 19:49 
Offline

Registado: 05 jan 2011, 12:35
Mensagens: 2235
Localização: Lisboa
Agradeceu: 683 vezes
Foi agradecido: 346 vezes
Caso não esteja à vontade com equação diferenciais e visto que se trata sempre de uma equação linear de primeira ordem, basta aplicar as fórumulas normais caso a caso:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7 ... m#Exemplos

_________________
João Pimentel Ferreira
 
Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!
Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 16 Oct 2015, 12:31 
Offline

Registado: 24 nov 2014, 15:04
Mensagens: 369
Localização: Minas Gerais
Agradeceu: 45 vezes
Foi agradecido: 72 vezes
Bom dia João P. Ferreira!

Excelente explicação João ;)

Amigo, me ficou apenas uma dúvida quanto ao exercício b. Basta plotar o gráfico da função \(Q(t)=C.e^{-0,00525t}\) para diferentes valores de \(C\) e \(t\)?

Não entendi como criar esse gráfico.

Obrigado


Topo
 Perfil  
 
MensagemEnviado: 19 Oct 2015, 22:09 
Offline

Registado: 05 jan 2011, 12:35
Mensagens: 2235
Localização: Lisboa
Agradeceu: 683 vezes
Foi agradecido: 346 vezes
Caso não deem nenhum ponto de Q(t), como Q(0) terá que atribuir um ponto para achar C.
Normalmente nesses exercícios, pode-se fazer Q(0)=100%

O exemplo da figura é para o Carbono 14.


Anexos:
ae403a.gif
ae403a.gif [ 3.58 KiB | Visualizado 4947 vezes ]

_________________
João Pimentel Ferreira
 
Partilhe dúvidas e resultados, ajude a comunidade com a sua pergunta!
Não lhe dês o peixe, ensina-o a pescar (provérbio chinês)
Fortalecemos a quem ajudamos pouco, mas prejudicamos se ajudarmos muito (pensamento budista)
Topo
 Perfil  
 
Mostrar mensagens anteriores:  Ordenar por  
Fazer Nova Pergunta Responder a este Tópico  [ 5 mensagens ] 

Os Horários são TMG [ DST ]


Quem está ligado:

Utilizadores a ver este Fórum: Nenhum utilizador registado e 20 visitantes


Criar perguntas: Proibído
Responder a perguntas: Proibído
Editar Mensagens: Proibído
Apagar Mensagens: Proibído
Enviar anexos: Proibído

Pesquisar por:
Ir para: