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Como resolvo isso?

Encontre a equação da reta tangente à curva 4y^{2}-5x+1=0 no ponto (1,1)

Olá

Posso estar enganado, mas penso que seja isso:

\(4y^2-5x+1=0\)

\(y=\sqrt{\frac{5x-1}{4}}\)

Agora basta calcular a derivada dessa função em relação à x. Ou seja,

\(\frac{d}{dx}\left (\sqrt{\frac{5x-1}{4}} \right )\)

Pela definição de derivada, a derivada a ser calculada no item acima é o coeficiente angular da reta tangente que queremos encontrar.

\(y-y_{0}=m(x-x_{0})\)

Repare que os valores de \(x_{0}\) e \(y_{0}\) são as coordenadas do ponto que nos foi dado.

Vamos ver o que galera diz

A resolução do estudioso está correcta. Apenas acresto que não seria necessário determinar explicitamente a expressão de y em termos de x (até porque em casos semelhantes pode ser impossível), sendo preferível usar a derivada da função implicita.

\(4y^2 + 5x-1 = {0} \Rightarrow 8 y' y + 5 = {0} \Rightarrow y' = -\frac{5}{8y}\)

Em particular \(y'(1) = -\frac{5}{8 y(1)}=-\frac 58\), que é o valor de \(m\) mencionado pelo estudioso.